contrôle du 23 janvier 2018

exercice 1

f est la fonction carré définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2$.

1. Calculer les images des réels : $\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ ; ${10}^{-3}$ ; $2-\sqrt{3}$ et $2\sqrt{3}$.

2. Quels sont les antécédents éventuels de 8 ?

3. Soit a un réel de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$. Donner un encadrement de $a^2$.

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exercice 2

A, B et C sont trois points de la parabole 𝒫 d'équation $y=x^2$ d'abscisses respectives $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$, ${\displaystyle \frac{9}{2}}$ et 6.

1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

2. Calculer les coordonnées du point D appartenant à la parabole 𝒫 pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

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exercice 3

ABCD est un rectangle tel que $AB=x$ et $BC=7-x$. On note $f\left(x\right)$ l'aire du rectangle ABCD.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour le réel x ?

2. Déterminer la valeur de x pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale.
   En déduire l'aire maximale du rectangle ABCD.

3. 1. Calculer l'aire du rectangle pour $x=3$.

   2. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾12$.

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exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2x^2-5x-12$.

1. Donner le tableau de variation de la fonction f.

2. 1. Calculer $f\left(-3\right)$.

   2. En déduire les solutions de l'équation $f\left(x\right)=21$.

3. Soit m un réel appartenant à l'intervalle $\left[-3;5\right]$. Donner un encadrement de $f\left(m\right)$.

4. 1. Montrer que pour tout réel x, on a $f\left(x\right)=2\times \left[{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{121}{16}}\right]$.

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

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exercice 5

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, on considère la droite $𝒟$ d'équation $y={\displaystyle \frac{3}{4}}x+1$ et le point A de coordonnées $\left(4;-1\right)$. AH est la distance du point A à la droite $𝒟$.

1. Soit $M\left(x;{\displaystyle \frac{3}{4}}x+1\right)$ un point de la droite $𝒟$.

   1. Exprimer en fonction de x les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

   2. Montrer que ${AM}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}{x}^2-5x+20$.

2. Donner le tableau des variations de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{25}{16}}{x}^2-5x+20$.

3. En déduire la distance du point A à la droite $𝒟$.

4. Calculer les coordonnées du point H.

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