contrôle du 27 mai 2018

exercice 1

Simplifier chacune des expressions suivantes, où x est un réel :

1. $A=\sin \left(-x\right)+\cos \left(-x\right)+\sin \left(\pi -x\right)+\cos \left(\pi +x\right)$

2. $B={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos \left(-x\right)+\sin \left(-x\right)\right)}^2$

3. $C={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x$

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exercice 2

Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left(\mathrm{O};I,J\right)$, on a tracé le polygone régulier ABCDEFGH.

1. Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique le point A est l'image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
   À quels réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont associés les sommets de ce polygone ?

2. Donner les coordonnées des points A et C.

3. Quel est le point de coordonnées $\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ ?

4. Les points B et F sont-ils symétriques par rapport à l'origine O du repère $\left(\mathrm{O};I,J\right)$ ?

5. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.

   1. Calculer $\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)$. En déduire les coordonnées du point B.

   2. Calculer les coordonnées du point F.

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exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2-4x}{x+2}}$.
La courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous, dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=-3$.

2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-\mathrm{1,5}\right)=7$ et $g\left(1\right)=2$.

   1. Tracer la courbe 𝒟 représentative de la fonction g dans le repère précédent.

   2. Déterminer l'expression de de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

3. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ on a $f\left(x\right)-g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{x+2}}$.

   2. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$. En déduire les positions relatives de la droite 𝒟 et de la courbe ${𝒞}_f$.

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