contrôles en terminale ES

contrôle du 03 décembre 2005

Corrigé de l'exercice 2

Dans chaque cas, trouver la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = 3 x^{2} - x + 1$ et $F (0) = 1$ .
D'après la formule donnant les primitives de $x^{n}$ , les primitives de f sont les fonctions F définies sur $ℝ$ telles que :
$F (x) = 3 \times (\frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1}) - (\frac{1}{1 + 1} x^{1 + 1}) + 1 \times x + c$
Soit $F (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x + c$
Or
$\begin{array}{l} F (0) = 1 & \Leftrightarrow & 0^{3} - \frac{1}{2} \times 0^{2} + 0 + c = 1 \\ \Leftrightarrow & c = 1 \end{array}$
Ainsi la primitive de la fonction f telle que $F (0) = 1$ est défine sur $ℝ$ par $F (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + x + 1$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = 2 x^{3} - \frac{1}{x^{2}}$ et $F (1) = 0$ .
$f (x)$ s'écrit $f (x) = 2 x^{3} - x^{- 2}$ .
D'après la formule donnant les primitives de $x^{n}$ , les primitives de f sont les fonctions F définies sur $] 0; + \infty [$ telles que :
$F (x) = 2 \times (\frac{1}{3 + 1} x^{3 + 1}) - (\frac{1}{- 2 + 1} x^{- 2 + 1}) + c$
Soit $F (x) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{x} + c$
Or
$\begin{array}{l} F (1) = 0 & \Leftrightarrow & \frac{1}{2} + 1 + c = 0 \\ \Leftrightarrow & c = - \frac{3}{2} \end{array}$
Ainsi la primitive de la fonction f telle que $F (1) = 0$ est défine sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{x} - \frac{3}{2}$ .

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