contrôle du 03 décembre 2005

exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1) Si la fonction F définie sur $]0;+\infty [$ par $F(x)=x^3+6x^2+{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}+3$ est une primitive de f sur $]0;+\infty [$ alors :	$f(x)=3x^2+12x-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ $f(x)=3x^2+12x+{\displaystyle \frac{1}{4x}}$ $f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+2x^3+3x-{\displaystyle \frac{1}{2x}}$
2) Si $f(x)={\displaystyle \frac{3\sqrt{x}}{2}}$, alors une primitive F de f sur $]0;+\infty [$ est définie par :	$F(x)={\displaystyle \frac{3x\sqrt{x}}{2}}$ $F(x)=x\sqrt{x}+5$ $F(x)=x\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{3}{2}}x$
3) Si $f(x)=2x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, alors une primitive F de f sur $]0;+\infty [$ est définie par :	$F(x)=2x^2-{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ $F(x)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ $F(x)={\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x}}$
4) Si $f(x)=3x^2-2x+1$, alors la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1 admet comme coefficient directeur :	1 2 4
5) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Alors la propriété suivante est vraie :	Si f est continue sur I, alors f est dérivable sur I. Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I. Puisque f est définie sur I, alors f est dérivable sur I.

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exercice 2

Dans chaque cas, trouver la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f(x)=3x^2-x+1$ et $F(0)=1$.

2. f est définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=2x^3-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ et $F(1)=0$

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exercice 3

La parabole ci-contre est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré f dans un repère orthogonal.

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1. Résoudre graphiquement $f\left(x\right)>0$.

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2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une courbe ne représente pas une primitive de la fonction f . Laquelle ?

Figure 1

Figure 2

Figure 3

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exercice 4

Soit f une fonction définie sur $\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-2}}$ : où a, b et c sont des réels.

On admet que f est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition et on désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

Le tableau ci-dessous fournit des informations sur le signe de $f\prime \left(x\right)$.

f	- ∞		0		2		4		$+\infty$
Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

On sait d'autre part que $f\left(0\right)=0$, $f\left(4\right)=2$ , $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et que $\underset{\underset{x>2}{x\to 2}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

1. Donner le tableau de variations de la fonction f.

2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a, b et c.

3. En vous aidant des informations fournies, montrer que l'on a : $a={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $c=1$.

4. Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations.

5. Montrer que la courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$, lorsque x tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.
   Étudier la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ et de son asymptote D.

6. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1.

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