contrôle du 03 décembre 2005

Corrigé de l'exercice 4

1. Donner le tableau de variations de la fonction f.

   L'étude du signe de la dérivée f ' nous renseigne sur les variations de la fonction f . (Voir le théorème).Si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée positive (resp. négative) elle est croissante (resp. décroissante).

   x	− ∞		0			2			4		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−			−		$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   Variations de f	− ∞		0		− ∞		$+\infty$		2		$+\infty$

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a, b et c.

   f est définie sur $\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-2}}$.

   L'expression de la dérivée de la fonction $u:x\to ax+b$ est : $u\prime \left(x\right)=a$

   L'expression de la dérivée de la fonction $v:x\to {\displaystyle \frac{c}{x-2}}$ est : $v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{c}{{\left(x-2\right)}^2}}$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=a-{\displaystyle \frac{c}{{\left(x-2\right)}^2}}$

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3. En vous aidant des informations fournies, montrer que l'on a : $a={\displaystyle \frac{1}{4}}$, $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $c=1$.

   Nous avons:

   • $f\left(0\right)=0$. D'où a, b et c sont solutions de l'équation : $b-{\displaystyle \frac{c}{2}}=0$.
   • $f\prime \left(0\right)=0$. D'où : $a-{\displaystyle \frac{c}{4}}=0$.
   • $f\left(4\right)=2$. D'où : $4a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}=2$.

   Ainsi a, b et c sont solutions du système : $\{\begin{array}{rcl}4a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 2\\ b-{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 0\\ a-{\displaystyle \frac{c}{4}}& =& 0\end{array}$

   Or $\{\begin{array}{rcl}4a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 2\\ b-{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 0\\ a-{\displaystyle \frac{c}{4}}& =& 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}4a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 2\\ 4a+c& =& 2\\ a-{\displaystyle \frac{c}{4}}& =& 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}4a+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 2\\ 4a+c& =& 2\\ 2a& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\iff \{\begin{array}{rcl}1+b+{\displaystyle \frac{c}{2}}& =& 2\\ 1+c& =& 2\\ a& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ c=1\\ a={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

   f est la fonction définie sur $\left]-\infty ;2\right[\cup \left]2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$.

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4. Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations.

   Il s'agit de calculer:

   1. $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ :

      Nous avons, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left({\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=1$

      D'autre part, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x-2)=0$ (avec $x-2<0$) , et $\underset{X\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=-\infty$ alors $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x-2}}=-\infty$ (D'après le théorème : limite d'une fonction composée.)α  , m et $𝓁$ désignent des nombres réels ou $+\infty$ ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : $f=u\circ v$.
      Si $\underset{x\to \alpha }{lim}u\left(x\right)=m$ et  $\underset{X\to m}{lim}v\left(X\right)=𝓁$ alors  $\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=𝓁$.

      Ainsi $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ :

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x-2}}=0$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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5. Montrer que la courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$, lorsque x tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.
   Étudier la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ et de son asymptote D.

   Étudions $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

   Pour tout réel x ≠2 $f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$

   Or $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x-2}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x-2}}=0$ alors :

   La courbe représentative ${𝒞}_f$ de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$, lorsque x tend vers $+\infty$ ou vers $-\infty$.

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   L'étude du signe de $f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{x-2}}$ nous renseigne sur la position relative de la courbe ${𝒞}_f$ et de son asymptote D.

   • Si $x<2$ alors ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}<0$ donc : la courbe ${𝒞}_f$ est sous son asymptote D pour $x<2$.

   • Si $x>2$ alors ${\displaystyle \frac{1}{x-2}}>0$ donc : la courbe ${𝒞}_f$ est au dessus de son asymptote D pour $x>2$.

   Courbe représentative de la fonction f

6. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente au point d'abscisse 1, à la courbe ${𝒞}_f$ est donnée par la relation :

   $y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$

   Or $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}}$ d'où $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}-1=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

   et $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-1=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   Par conséquent, $y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)\iff y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\left(x-1\right)-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   Ainsi la tangente au point d'abscisse 1, à la courbe ${𝒞}_f$ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

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