contrôles en terminale ES

contrôle du 03 décembre 2005

Corrigé de l'exercice 4

Soit f une fonction définie sur ]-;2[]2;+[ par f(x)=ax+b+cx-2 : où a, b et c sont des réels.

On admet que f est dérivable sur chacun des intervalles de son ensemble de définition et on désigne par f la fonction dérivée de la fonction f.

Le tableau ci-dessous fournit des informations sur le signe de f(x).

f- ∞ 0 2 4 +
Signe de f(x) +0|| 0||+ 

On sait d'autre part que f(0)=0, f(4)=2 , limx-f(x)= et que limx2x>2f(x)=+

  1. Donner le tableau de variations de la fonction f.

    L'étude du signe de la dérivée f ' nous renseigne sur les variations de la fonction f . (Voir le théorème).Si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée positive (resp. négative) elle est croissante (resp. décroissante).

    x− ∞ 0  2  4 +
    Signe de f(x) +0|| 0||+ 
    Variations
    de f

    − ∞

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    0

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    − ∞

     

    +

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    +


  2. Calculer f(x) en fonction de a, b et c.

    f est définie sur ]-;2[]2;+[ par f(x)=ax+b+cx-2.

    L'expression de la dérivée de la fonction u:xax+b est : u(x)=a

    L'expression de la dérivée de la fonction v:xcx-2 est : v(x)=-cx-22

    Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur ]-;2[]2;+[ par f(x)=a-cx-22


  3. En vous aidant des informations fournies, montrer que l'on a : a=14, b=12, c=1.

    Nous avons:

    • f(0)=0. D'où a, b et c sont solutions de l'équation : b-c2=0.
    • f(0)=0. D'où : a-c4=0.
    • f(4)=2. D'où : 4a+b+c2=2.

    Ainsi a, b et c sont solutions du système : {4a+b+c2=2b-c2=0a-c4=0

    Or {4a+b+c2=2b-c2=0a-c4=0{4a+b+c2=24a+c=2a-c4=0{4a+b+c2=24a+c=22a=12{1+b+c2=21+c=2a=14{b=12c=1a=14

    f est la fonction définie sur ]-;2[]2;+[ par f(x)=x4+12+1x-2.


  4. Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations.

    Il s'agit de calculer:

    1. limx2-f(x) :

      Nous avons, limx2-x4+12=1

      D'autre part, limx2-(x-2)=0 (avec x-2<0) , et limX0-1X=- alors limx2-1x-2=- (D'après le théorème : limite d'une fonction composée.)α  , m et 𝓁 désignent des nombres réels ou + ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : f=uv.
      Si limxαu(x)=m et  limXmv(X)=𝓁 alors  limxαf(x)=𝓁.

      Ainsi limx2-f(x)=-.


    2. limx+f(x) :

      limx+x4+12=+ et limx+1x-2=0 alors limx+f(x)=+


  5. Montrer que la courbe représentative 𝒞f de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation y=x4+12, lorsque x tend vers + ou vers -.
    Étudier la position relative de la courbe 𝒞f et de son asymptote D.

    Étudions limx±f(x)-x4+12

    Pour tout réel x ≠2 f(x)-x4+12=1x-2

    Or limx-1x-2=0 et limx+1x-2=0 alors :

    La courbe représentative 𝒞f de la fonction f admet comme asymptote la droite D d'équation y=x4+12, lorsque x tend vers + ou vers -.


    L'étude du signe de f(x)-x4+12=1x-2 nous renseigne sur la position relative de la courbe 𝒞f et de son asymptote D.

    • Si x<2 alors 1x-2<0 donc : la courbe 𝒞f est sous son asymptote D pour x<2.

    • Si x>2 alors 1x-2>0 donc : la courbe 𝒞f est au dessus de son asymptote D pour x>2.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Courbe représentative de la fonction f

  6. Déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1.

    Une équation de la tangente au point d'abscisse 1, à la courbe 𝒞f est donnée par la relation :

    y=f(1)×(x-1)+f(1)

    Or f(x)=14-1x-22 d'où f(1)=14-1=-34

    et f(1)=14+12-1=-14

    Par conséquent, y=f(1)×(x-1)+f(1)y=-34(x-1)-14

    Ainsi la tangente au point d'abscisse 1, à la courbe 𝒞f a pour équation y=-34x+12



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