contrôle du 07 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 4

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1. Déterminer $\underset{\underset{x>0}{x\to 0}}{\lim }f\left(x\right)$.

   $\underset{\underset{x>0}{x\to 0}}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=+\infty$ d'où $\underset{\underset{x>0}{x\to 0}}{\lim }{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x^2}}=-\infty$

   Donc $\underset{\underset{x>0}{x\to 0}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

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2. La courbe ${𝒞}_f$ a-t-elle des asymptotes? Si oui lesquelles?

   • $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ alors, l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$.

   • D'après le tableau des variations de la fonction f fourni :
     $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ alors, la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$ est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ en $+\infty$.

   La courbe ${𝒞}_f$ admet deux asymptotes, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

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3. Calculer la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

   La fonction $g:x\to {\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x^2}}$ définie sur $I=\left]0;+\infty \right[$ est de la forme ${\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $g\text{'}={\displaystyle \frac{u\text{'}v-uv\text{'}}{v^2}}$ avec :
   $u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)$ d'où $u\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}$;
   et $v\left(x\right)=x^2$ d'où $v\text{'}\left(x\right)=2x$.

   Donc pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$,$$f\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}\times x^2-2\ln \left(x\right)\times 2x}{{\left(x^2\right)}^2}}={\displaystyle \frac{2x-4x\ln \left(x\right)}{x^4}}={\displaystyle \frac{x\left(2-4\ln \left(x\right)\right)}{x^4}}={\displaystyle \frac{2-4\ln \left(x\right)}{x^3}}$$

   Ainsi pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$, $f\text{'}\left(x\right)=={\displaystyle \frac{2-4\ln \left(x\right)}{x^3}}$

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4. Étudier le signe de la fonction dérivée $f\prime$ sur l'intervalle I.

   $f\text{'}\left(x\right)={\displaystyle \frac{2-4\ln \left(x\right)}{x^3}}$ et pour tout $x>0\text{, }{x}^3>0$. Donc $f\text{'}\left(x\right)$ est du même signe que l'expression $2-4\ln \left(x\right)$.

   Or pour tout réel $x>0$,$$\begin{array}{llll}2-4\ln \left(x\right)⩽0& \iff & -4\ln \left(x\right)⩽-2& \\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{Multiplication par }-{\displaystyle \frac{1}{4}}\\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(\mathrm{e}\right)& \text{Car }\ln \left(\mathrm{e}\right)=1\\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif : }\ln \left(\sqrt{a}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln a\\ & \iff & x⩾\sqrt{\mathrm{e}}& \text{Pour tous réels }a\text{ et }b\text{ strictement positifs : }\ln a⩽\ln b\text{ équivaut à }a⩽b\end{array}$$

   Ainsi :$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)<0\iff x>\sqrt{\mathrm{e}}\\ f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\sqrt{\mathrm{e}}\\ f\text{'}\left(x\right)>0\iff 0<x<\sqrt{\mathrm{e}}\end{array}$

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5. Recopier et compléter le tableau des variations de f sur I.

   $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}{{\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$

   x		0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
   Signe de f '				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Variations de f			$-\infty$		${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$

6. Justifier que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$ et donner la valeur arrondie de α à 10^-2 près.

   $f\text{'}\left(x\right)>0$ sur $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$ et $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $f\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}$, alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, f prend une fois et une seule toute valeur de l'intervalle $]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}[$.

   $0\in ]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}[$, alors l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$.

   Le tableau de valeurs de la fonction f obtenu à la calculatrice permet de trouver un encadrement de α d'amplitude 10^-3$$\mathrm{0,838}<\alpha <\mathrm{0,839}$$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur $]0;\sqrt{\mathrm{e}}[$ dont la valeur arrondie à 10^-2 près est $\alpha =\mathrm{0,84}$.

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