bac blanc du 31 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

première partie

1. Calculer la probabilité que cet animal soit atteint seulement de la maladie B.

   Notons :
   A l'évènement : « l'animal est atteint de la maladie A» et $\overline{A}$ l'évènement contraire.
   B l'évènement : « l'animal est atteint de la maladie B» et $\overline{B}$ l'évènement contraire.

   Traduisons les données de l'énoncé à l'aide d'un tableau à double entrée :

   	B	$\overline{B}$
   A	0,03	0,12
   $\overline{A}$
   	0,08		1

   Les évènements A et B étant relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales.

   $$\begin{array}{rcl}p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)& \iff & p\left(B\cap \overline{A}\right)=p\left(B\right)-p\left(B\cap A\right)\\ & \text{Soit}& p\left(B\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,08}-\mathrm{0,03}=\mathrm{0,05}\end{array}$$

   La probabilité qu'un animal ne soit atteint que de la maladie B est $p\left(B\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,05}$.

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2. Calculer la probabilité que cet animal ne soit atteint ni de la maladie A ni de la maladie B.

   $p\left(\overline{B}\right)=1-p\left(B\right)=\mathrm{0,92}$ et, d'après la formule des probabilités totales $$\begin{array}{rcl}p\left(\overline{B}\right)=p\left(\overline{B}\cap A\right)+p\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)& \iff & p\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)=p\left(\overline{B}\right)-p\left(\overline{B}\cap A\right)\\ & \text{Soit}& p\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,92}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,8}\end{array}$$

   La probabilité q'un animal ne soit pas malade est $p\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,8}$.

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deuxième partie

Traduisons les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré

1. Quelle est la probabilité pour un animal d'être malade et de réagir au test ?

   Il s'agit de calculer la probabilité de l'événement $T\cap M$ : $$\begin{array}{rcl}p\left(T\cap M\right)& =& p_M\left(T\right)\times p\left(M\right)\\ & =& p_M\left(T\right)\times \left(1-p\left(\overline{M}\right)\right)\\ & =& \mathrm{0,95}\times \mathrm{0,2}\\ & =& \mathrm{0,19}\end{array}$$.

   Ainsi la probabilité pour un animal d'être malade et de réagir au test est $p\left(T\cap M\right)=\mathrm{0,19}$.

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2. On prend un animal au hasard et on lui fait passer le test quelle est la probabilité pour que le test soit positif ?

   Sur arbre d'après la règle des nœuds : $$\begin{array}{rclccll}{p}_{\overline{M}}\left(T\right)& =& 1-p_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)& \text{et}& p\left(T\cap \overline{M}\right)& =& p_{\overline{M}}\left(T\right)\times p\left(\overline{M}\right)\\ & =& 1-\mathrm{0,98}& & & =& \mathrm{0,02}\times \mathrm{0,8}\\ & =& \mathrm{0,02}& & & =& \mathrm{0,016}\end{array}$$

   Donc d'après la formule des probabilités totales $$\begin{array}{lll}p\left(T\right)& =& p\left(T\cap M\right)+p\left(T\cap \overline{M}\right)\\ & =& \mathrm{0,19}+\mathrm{0,016}\\ & =& \mathrm{0,206}\end{array}$$

   La probabilité pour que le test soit positif est $p\left(T\right)=\mathrm{0,206}$.

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3. Quelle est la probabilité pour un animal d'être malade si le test est positif ?

   Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement M sachant que le test est positif. C'est la probabilité de M conditionnée par T. $$\begin{array}{lll}{p}_T\left(M\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(T\cap M\right)}{p\left(T\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,19}}{\mathrm{0,206}}}\approx \mathrm{0,922}\end{array}$$

   La probabilité pour un animal d'être malade si le test est positif est $p_T\left(M\right)=\mathrm{0,922}$. (arrondi à 10^-3près)

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