bac blanc du 31 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_i;y_i\right)$ dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$ du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1 euro en abscisse et 2 cm pour 1 000 acheteurs en ordonnée).

2. On recherche un ajustement affine de la série $\left(x_i;y_i\right)$.

   1. Donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés.
      Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au centième ; on ne demande aucune justification.

      Une équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés est :(coefficients arrondis au centième)

      $y=-\mathrm{1,06}x+\mathrm{4,45}$

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   2. Tracer cette droite dans le même repère que précédemment.

   3. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.

      Si le prix de vente est de 2,50 euros alors, une estimation du nombre d'acheteurs, exprimé en milliers est :

      $y=-\mathrm{1,06}\times \mathrm{2,5}+\mathrm{4,45}=\mathrm{1,8}$

      Pour un produit vendu 2,50 euros, le nombre d’acheteurs potentiels est de 1800.

      ---

3. La forme du nuage permet d’envisager un ajustement à l’aide d’une parabole. On pose $z_i={\left(\mathrm{0,75}{x}_i-\mathrm{3,16}\right)}^2$

   1. Donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en z par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^- 3près).

      xi	1	1,50	2	3	4
      $z_i={\left(\mathrm{0,75}{x}_i-\mathrm{3,16}\right)}^2$	5,8081	4,141225	2,7556	0,8281	0,0256
      yi	3,75	2,8	2	1	0,5

      Une équation de la droite d’ajustement de y en z obtenue par la méthode des moindres carrés est :

      $y=\mathrm{0,557}z+\mathrm{0,500}$  (coefficients arrondis arrondis à 10^- 3près)

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   2. Vérifier que la nouvelle estimation de y en fonction de x est donnée par $y=\mathrm{0,313}{x}^2-\mathrm{2,64}x+\mathrm{6,062}$ (les coefficients sont arrondis à 10^- 3près).

      $y=\mathrm{0,557}z+\mathrm{0,500}$ et $z={\left(\mathrm{0,75}x-\mathrm{3,16}\right)}^2$ alors $$\begin{array}{lll}y=\mathrm{0,557}{\left(\mathrm{0,75}x-\mathrm{3,16}\right)}^2+\mathrm{0,5}& \iff & y=\mathrm{0,557}\left(\mathrm{0,5625}{x}^2-\mathrm{4,74}x+\mathrm{9,9856}\right)+\mathrm{0,5}\\ & \iff & y=\mathrm{0,313313}{x}^2-\mathrm{2,64018}x+\mathrm{6,0619792}\end{array}$$

      La parobole qui ajuste le nuage de points a pour équation $y=\mathrm{0,313}{x}^2-\mathrm{2,64}x+\mathrm{6,062}$

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   3. En utilisant cet ajustement, donner une nouvelle estimation du nombre d’acheteurs potentiels pour un produit vendu 2,50 euros.

      Le prix de vente est de 2,50 euros alors, une nouvelle estimation du nombre d'acheteurs, exprimé en milliers est :

      $y=\mathrm{0,313}\times {\mathrm{2,5}}^2-\mathrm{2,64}\times \mathrm{2,5}+\mathrm{6,062}=\mathrm{1,41825}$

      Pour un produit vendu 2,50 euros, le nombre d’acheteurs potentiels est de 1418.

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