Soit u la fonction définie sur par : .
Étudier le signe de
u est une fonction polynôme du second degré.
Soit
Les racines sont :
et
x | - ∞ | 1 | |||||
Signe de | − | + | − |
Soit f la fonction définie sur par .
Justifiez que l’ensemble de définition de la fonction f est l’intervalle .
La fonction ln est définie sur ]0 ; [, par conséquent la fonction composée est définie sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.
Or d'après la première question la fonction u est strictement positive sur l'intervalle .
Donc la fonction f telle que est définie sur .
On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal , montrer que admet deux asymptotes verticales.
Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition à l'aide du théorème de la limite d'une fonction composée.α , m et désignent des nombres réels ou ou - ∞
u , v et f sont trois fonctions telles que : .
Si et alors .
et donc . Par conséquent la courbe admet pour asymptote la droite d'équation .
et donc . Par conséquent la courbe admet pour asymptote la droite d'équation .
Ainsi la courbe admet pour asymptotes les droites d'équation et .
On note f ' la dérivée de la fonction f , calculer .
La fonction u est dérivable et strictement positive sur alors, d'après le théorème sur la dérivée de ln u Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est .
f est est dérivable sur et .
Or donc
D'où .
Ainsi .
Étudier le sens de variation de la fonction f.
Les fonctions u et ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.
Or la fonction u est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme de plus haut degré est négatif.
Le maximum de la fonction u est atteint pour et
La fonction u restreinte à l'intervalle est croissante sur et décroissante sur
D'où le tableau des variations de la fonction f
x | 1 | ||||||
Variations de f |
Les variations de la fonction f dépendent du signe de la dérivée .
Or pour tout réel x de l'intervalle , , d'où
En outre
D'où le tableau des variations de la fonction f
x | 1 | ||||||
Signe de | + | − | |||||
Variations de f |
Résoudre l’équation .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi les solutions de l’équation sont les solutions de l’équation comprises dans l'intervalle .
Soit
Les solutions de l’équation sont :
et
L’équation admet deux solutions et
Donner une équation de la tangente T à la courbe en son point d’abscisse -1.
Une équation de la tangente T à la courbe en son point d’abscisse -1 est
D'après la question précédente
Donc la tangente T a pour équation
La tangente T à la courbe en son point d’abscisse -1 a pour équation
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