contrôles en terminale ES

bac blanc du 31 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Soit u la fonction définie sur par : u(x)=-x2-x2+32.

  1. Étudier le signe de u(x)

    u est une fonction polynôme du second degré.

    Soit Δ=(-12)2-4×(-1)×32=254

    Les racines sont :

    x1=12-52-2=1 et x2=12+52-2=-32

    x- ∞ -32 1 +
    Signe de u(x)0||+0||

  2. Soit f la fonction définie sur ]-32;1[ par f(x)=ln(-x2-x2+32).

    1. Justifiez que l’ensemble de définition de la fonction f est l’intervalle ]-32;1[.

      La fonction ln est définie sur ]0 ; +[, par conséquent la fonction composée lnu est définie sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

      Or d'après la première question la fonction u est strictement positive sur l'intervalle ]-32;1[.

      Donc la fonction f telle que f(x)=ln(-x2-x2+32) est définie sur ]-32;1[.


    2. On note 𝒞f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal , montrer que 𝒞f admet deux asymptotes verticales.

      Étudions les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition à l'aide du théorème de la limite d'une fonction composée.α , m et 𝓁 désignent des nombres réels ou + ou - ∞
      u , v et f sont trois fonctions telles que : f=uv.
      Si limxαu(x)=m et  limXmv(X)=𝓁 alors  limxαf(x)=𝓁.

      • limx-32(-x2-x2+32)=0 et limx0ln(x)=- donc limx-32f(x)=-. Par conséquent la courbe 𝒞f admet pour asymptote la droite d'équation x=-32.

      • limx1(-x2-x2+32)=0 et limx0ln(x)=- donc limx1f(x)=-. Par conséquent la courbe 𝒞f admet pour asymptote la droite d'équation x=1.

      Ainsi la courbe 𝒞f admet pour asymptotes les droites d'équation x=-32 et x=1.


  3. On note f ' la dérivée de la fonction f , calculer f(x) .

    La fonction u est dérivable et strictement positive sur ]-32;1[ alors, d'après le théorème sur la dérivée de ln u Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
    La fonction ln u est dérivable sur I et sa dérivée est (lnu)=uu.

    f est est dérivable sur ]-32;1[ et f(x)=u(x)u(x).

    Or u(x)=-x2-x2+32 donc u(x)=-2x-12

    D'où f(x)=-2x-12-x2-x2+32.

    Ainsi f(x)=4x+12x2+x-3.


  4. Étudier le sens de variation de la fonction f.

    méthode 1

    Les fonctions u et lnu ont les mêmes variations sur un intervalle où la fonction u est strictement positive.

    Or la fonction u est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme de plus haut degré (x2) est négatif.
    Le maximum de la fonction u est atteint pour x=--12-2=-14 et u(-14)=-116+18+32=2516

    La fonction u restreinte à l'intervalle ]-32;1[ est croissante sur ]-32;-14] et décroissante sur [-14;1[

    D'où le tableau des variations de la fonction f

    x-32  -14  1
    Variations de f   

    -

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    ln2516

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    -

       

    méthode 2

    Les variations de la fonction f dépendent du signe de la dérivée f(x)=4x+12x2+x-3.

    Or pour tout réel x de l'intervalle ]-32;1[, -x2-x2+32>0, d'où 2x2+x-3<0

    En outre 4x+1<0x<-14

    D'où le tableau des variations de la fonction f

    x-32  -14  1
    Signe de f(x)  +0||  
    Variations de f   

    -

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    ln2516

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    -

       

  5. Résoudre l’équation f(x)=0.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]-32;1[, ln(-x2-x2+32)=0ln(-x2-x2+32)=ln1Car ln1=0-x2-x2+32=1Pour tous réels  a et  b strictement positifs :  lna=lnb équivaut à a=b-x2-x2+12=0

    Ainsi les solutions de l’équation f(x)=0 sont les solutions de l’équation -x2-x2+12=0 comprises dans l'intervalle ]-32;1[.

    Soit Δ=(-12)2-4×(-1)×12=94

    Les solutions de l’équation -x2-x2+12=0 sont :

    x1=12-32-2=12 et x2=12+32-2=-1

    L’équation f(x)=0 admet deux solutions x1=12 et x2=-1


  6. Donner une équation de la tangente T à la courbe en son point d’abscisse -1.

    Une équation de la tangente T à la courbe en son point d’abscisse -1 est y=f(-1)×(x+1)+f(-1)

    D'après la question précédente f(-1)=0

    f(-1)=4×(-1)+12×(-1)2-1-3=32

    Donc la tangente T a pour équation y=32(x+1)y=32x+32

    La tangente T à la courbe 𝒞f en son point d’abscisse -1 a pour équation y=32x+32


Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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