contrôles en terminale ES

bac blanc du 31 janvier 2006

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique deux modèles X et Y d’un même produit. Le bénéfice réalisé par la vente de ces produits est modélisé par $B (x; y) = - x^{2} + 600 x - 2 x y + 800 y - 2 y^{2}$ où $B (x; y)$ est le montant en euros du bénéfice annuel pour une production mensuelle de x articles du modèle X et de y articles du modèle Y.

On suppose que chaque article produit peut être vendu sur le marché.

La capacité de production mensuelle de l'entreprise est de 300 articles et on cherche à déterminer la répartition de la production entre les deux modèles X et Y permettant de maximiser les profits.

Calculer le montant du bénéfice dans le cas où :
1. la production du modèle X est de 100 unités ;
  Si la production du modèle X est de 100 unités alors la production du modèle Y est de $300 - 100 = 200$ unités.
  D'où $\begin{array}{l} B (100; 200) & = & - 100^{2} + 600 \times 100 - 2 \times 100 \times 200 + 800 \times 200 - 2 \times 200^{2} \\ = & 90 000 \end{array}$
  Si la production du modèle X est de 100 unités, le bénéfice annuel escompté est 90 000 euros
2. la production du modèle X est de 150 unités.
  Si la production du modèle X est de 150 unités alors la production du modèle Y est de $300 - 150 = 150$ unités.
  D'où $\begin{array}{l} B (100; 200) & = & - 150^{2} + 600 \times 150 - 2 \times 150 \times 150 + 800 \times 150 - 2 \times 150^{2} \\ = & 97 500 \end{array}$
  Si la production est de150 unités de chaque modèle, le bénéfice annuel escompté est 97 500 euros

Sous la contrainte de production $x + y = 300$ .

Montrer que le montant du bénéfice en fonction de x est donné par $f (x) = - x^{2} + 400 x + 60000$ .
La contrainte de production $x + y = 300$ , nous permet d'obtenir une expression de y en fonction de x que l'on substitue dans $B (x; y)$ afin d'obtenir une fonction à une seule variable.
$x + y = 300 \Leftrightarrow y = 300 - x$
D'où $\begin{array}{l} B (x; 300 - x) & = & - x^{2} + 600 x - 2 x (300 - x) + 800 (300 - x) - 2 {(300 - x)}^{2} \\ = & - x^{2} + 600 x - 600 x + 2 x^{2} + 240 000 - 800 x - 2 x^{2} + 1 200 x - 180 000 \\ = & - x^{2} + 400 x + 60 000 \end{array}$
Sous la contrainte de production $x + y = 300$ , le montant du bénéfice en fonction de x est donné par $f (x) = - x^{2} + 400 x + 60000$ .

Étudier les variations de la fonction f. En déduire le nombre d’articles X qui assure un bénéfice maximum.

La fonction f est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient du terme de plus haut degré $(x^{2})$ est négatif.
Le maximum de la fonction f est atteint pour $x = - \frac{400}{- 2} = 200$ .

$f (200) = - 200^{2} + 400 \times 200 + 60000 = 100 000$ .

Le tableau des variations de la fonction f restreinte à l'intervalle [0;300] est :

x	0		200		300
Variations de f	60 000		100 000		90 000

Sous la contrainte de production $x + y = 300$ , le bénéfice maximum est obtenu pour une production de 200 unités du modèle X.

Donner la répartition de la production mensuelle permettant de maximiser les profits et déterminer le montant du bénéfice maximal.
L'étude précédente nous permet de conclure :
En tenant compte de la contrainte de production le bénéfice maximum que peut réaliser cette entreprise est 100 000 euros pour une production mensuelle de 200 articles du modèle X et de 100 articles du modèle Y.

Le patron de l'entreprise se demande si une augmentation de la production à 500 unités n’engendrerait pas une augmentation des bénéfices.
La figure ci-dessous représente les courbes de niveau de cote constante, projections orthogonales dans le plan (xOy) de la surface S d’équation $z = - x^{2} + 600 x - 2 x y + 800 y - 2 y^{2}$ pour z variant de 20 000 en 20 000.
1. Représenter sur la figure la contrainte $x + y = 500$ .
  La projection orthogonale dans le plan (xOy) du plan d'équation $x + y = 500$ , parallèle à l'axe (Oz) est la droite d'équation $y = - x + 500$
2. Graphiquement quel est le bénéfice maximum que ce patron peut espérer obtenir ? Que faut-il conclure ?
  Graphiquement la courbe de niveau supérieur ayant une intersection avec la droite d'équation $y = - x + 500$ , est la courbe dont la cote est $z = 60 000$ .
  La droite représentant la contrainte est tangente à la courbe au point de coordonnées $(400; 100; 60 000)$ .
  L'augmentation de la production à 500 unités ne profite pas à l'entreprise. Dans ce cas le bénéfice maximal que l'entreprise peut espérer est de 60 000 euros pour une production de 400 articles du modèle X et de 100 articles du modèle Y.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.