contrôles en terminale ES

contrôle du 18 mars 2006

Corrigé de l'exercice 1

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question. L'absence de réponse à une question ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1) Une loi de probabilité d'espérance μ, de variance V et d’écart type σ est définie par le tableau ci-dessous.

x_i	- 1	0	2	4
p_i	0,3	0,2	0,1	0,4

On a alors :

D'après les définitions : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ : $μ = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}$ La variance de la loi de probabilité est le nombre noté V : $V = p_{1} {(x_{1} - μ)}^{2} + p_{2} {(x_{2} - μ)}^{2} + \dots + p_{n} {(x_{n} - μ)}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {(x_{i} - μ)}^{2}$ L'écart type est la racine carrée de la variance : $σ = \sqrt{V}$

$μ = - 1 \times 0,3 + 0 \times 0,2 + 2 \times 0,1 + 4 \times 0,4 = 1,5$

$V = 0,3 \times {(- 1 - 1,5)}^{2} + 0,2 \times {(0 - 1,5)}^{2} + 0,1 \times {(2 - 1,5)}^{2} + 0,4 \times {(4 - 1,5)}^{2} = 4,85$

$μ = 1,25$
$V = 4,85$
$σ = \frac{\sqrt{5}}{4}$

Soient A et B deux événements indépendants.
On donne : $p (A) = \frac{1}{4}$ et $p (B) = \frac{1}{3}$ . On a alors :

A et B sont deux événements indépendants d'où : (Voir la définition.)On considère deux événements A et B de probabilités non nulles.
Dire que deux événements A, B sont indépendants signifie que : $p (A \cap B) = p (A) \times p (B)$

$p (A \cap B) = p (A) \times p (B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
$p_{A} (B) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} = \frac{p (A) \times p (B)}{p (A)} = p (B) = \frac{1}{3}$

D'autre part :

$p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12}$

$p (A \cap B) = \frac{7}{12}$
$p_{A} (B) = \frac{1}{12}$
$p (A \cup B) = \frac{1}{2}$

3) x et y sont deux réels :

Les propositions 1 et 3 sont manifestement fausses.

Or pour tous réels x et y , $\begin{array}{l} e^{x} \times e^{y} = 1 & \Leftrightarrow & e^{x + y} = 1 \\ \Leftrightarrow & x + y = 0 \end{array}$

$e^{x} + e^{y} = e^{x + y}$
$e^{x} \times e^{y} = 1 \Leftrightarrow x = - y$
$\frac{e^{x}}{e^{y}} = \frac{x}{y}$

4) L'équation $\ln x = - 1$ :

Pour tout réel x strictement positif, $e^{\ln x} = x$

Par conséquent pour tout réel x strictement positif, $\ln x = - 1 \Leftrightarrow x = e^{- 1}$

a pour solution $x = \frac{1}{e}$
a pour solution $x = - e$
n'a pas de solution

5) L'équation $e^{\ln x} = - 1$ :

L'égalité $e^{\ln x} = x$ n'est vraie que pour tout réel x strictement positif.

D'autre part pour tout réel x , $e^{x} > 0$

a pour solution $x = - 1$
a pour solution $x = - e$
n'a pas de solution

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