contrôles en terminale ES

contrôle du 18 mars 2006

Corrigé de l'exercice 3

Déterminer le plus grand entier naturel n tel que $e^{1 - 0,5 n} ⩾ 0,1$
$\begin{array}{l} e^{1 - 0,5 n} ⩾ 0,1 & \Leftrightarrow & 1 - 0,5 n ⩾ \ln 0,1 & Pour tout réel x et pour tout réel y strictement positif : e^{x} ⩾ y \Leftrightarrow x ⩾ \ln y \\ \Leftrightarrow & - 0,5 n ⩾ - \ln 10 - 1 \\ \Leftrightarrow & n ⩽ \frac{\ln 10 + 1}{0,5} & Multiplication par un réel négatif ! \end{array}$
Or $\frac{\ln 10 + 1}{0,5} \approx 6,6$ .
Donc le plus grand entier naturel n tel que $e^{1 - 0,5 n} ⩾ 0,1$ est égal à 6.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que $e^{0,03 n + 2} ⩾ 10$
$\begin{array}{l} e^{0,03 n + 2} ⩾ 10 & \Leftrightarrow & 0,03 n + 2 ⩾ \ln 10 \\ \Leftrightarrow & 0,03 n ⩾ \ln 10 - 2 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 10 - 2}{0,03} \end{array}$
Or $\frac{\ln 10 - 2}{0,03} \approx 10,08$ .
Donc le plus petit entier naturel n tel que $e^{0,03 n + 2} ⩾ 10$ est égal à 11.
Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $e^{2 x} \times e^{3 x - 1} ⩾ 2$
$\begin{array}{l} e^{2 x} \times e^{3 x - 1} ⩾ 2 & \Leftrightarrow & e^{5 x - 1} ⩾ 2 & Pour tous réels a et b : e^{a} \times e^{b} = e^{a + b} \\ \Leftrightarrow & 5 x - 1 ⩾ \ln 2 \\ \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{\ln 2 + 1}{5} \end{array}$
D'où l'ensemble des solutions de l'inéquation $e^{2 x} \times e^{3 x - 1} ⩾ 2$ est $S = [\frac{\ln 2 + 1}{5}; + \infty [$ .
Étudier le signe de $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ .
$Δ = 5^{2} - 4 \times (- 2) \times 3 = 49$
$Δ > 0$ donc le polynôme a deux racines :
$x_{1} = \frac{- 5 - 7}{- 4} = 3$ et $x_{2} = \frac{- 5 + 7}{- 4} = - \frac{1}{2}$
Le coefficient de $x^{2}$ est négatif d'où le tableau du signe :
x - ∞ $- \frac{1}{2}$ 3 $+ \infty$
Signe de $- 2 x^{2} + 5 x + 3$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −
En déduire dans $ℝ$ les solutions de :
1. l'équation $- 2 e^{2 x} + 5 e^{x} + 3 = 0$
2. l'inéquation $- 2 e^{2 x} + 5 e^{x} + 3 < 0$
On pose $X = e^{x}$ avec $X > 0$ (une exponentielle est toujours strictement positive).
1. L'équation $- 2 e^{2 x} + 5 e^{x} + 3 = 0$ s'écrit $- 2 X^{2} + 5 X + 3 = 0$
  Comme $X > 0$ , la solution $X = - \frac{1}{2}$ ne convient pas.
  Or $X = 3 \Leftrightarrow e^{x} = 3 \Leftrightarrow x = \ln 3$
  L'équation $- 2 e^{2 x} + 5 e^{x} + 3 = 0$ admet une seule solution $x = \ln 3$
2. L'inéquation $- 2 e^{2 x} + 5 e^{x} + 3 < 0$ s'écrit $- 2 X^{2} + 5 X + 3 < 0$
  D'après l'étude du signe du polynôme du second degré, comme $X > 0$ :
  on résout $e^{x} > 3 \Leftrightarrow x > \ln 3$
  D'où l'ensemble des solutions de l'inéquation $- 2 e^{2 x} + 5 e^{x} + 3 < 0$ est $S =] \ln 3; + \infty [$ .

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x	- ∞		$- \frac{1}{2}$		3		$+ \infty$
Signe de $- 2 x^{2} + 5 x + 3$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−