contrôle du 18 mars 2006

Corrigé de l'exercice 4

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1. Traduire à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau la situation décrite ci-dessus.

   • 10% des personnes qui entrent dans le magasin achètent une table, d'où $p\left(\mathrm{T}\right)=\mathrm{0,1}$

   • parmi les personnes qui achètent une table, 80% achètent un lot de chaises, d'où $p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{C}\right)=\mathrm{0,8}$

   • parmi les personnes qui n'achètent pas de table, 10% achètent un lot de chaises, d'où $p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{C}\right)=\mathrm{0,1}$

   La situation décrite ci-dessus peut se traduire à l'aide de l'arbre pondéré ci-dessous.

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2. Montrer que la probabilité que la personne achète un lot de chaises est égale à 0,17.

   Les évènements T et C sont relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales :$$p\left(\mathrm{C}\right)=p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)$$

   Or $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)& =& p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{C}\right)\times p\left(\mathrm{T}\right)\\ & =& \mathrm{0,8}\times \mathrm{0,1}\\ & =& \mathrm{0,08}\end{array}$$

   et $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)& =& p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{C}\right)\times p\left(\overline{\mathrm{T}}\right)\\ & =& p_{\overline{\mathrm{T}}}\left(\mathrm{C}\right)\times \left(1-p\left(\mathrm{T}\right)\right)\\ & =& \mathrm{0,1}\times \mathrm{0,9}\\ & =& \mathrm{0,09}\end{array}$$

   Ainsi $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{C}\right)& =& p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)+p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)\\ & =& \mathrm{0,08}+\mathrm{0,09}\\ & =& \mathrm{0,17}\end{array}$$

   La probabilité que la personne qui entre dans le magasin achète un lot de chaises est égale à 0,17.

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3. Quelle est la probabilité que la personne n'achète pas de table sachant qu'elle a acheté un lot de chaises ?

   Il s'agit de déterminer la probabilité conditionnelle de l'évènement $\overline{\mathrm{T}}$ sachant que l'évènement C est réalisé.

   Or $$\begin{array}{lll}{p}_{\mathrm{C}}\left(\overline{\mathrm{T}}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)}{p\left(\mathrm{C}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}}{\mathrm{0,17}}}\end{array}$$

   La probabilité que la personne n'achète pas de table sachant qu'elle a acheté un lot de chaises est égale à ${\displaystyle \frac{9}{17}}$.

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4. On choisit au hasard cinq clients et on suppose qu'ils ont fait leurs choix dans les mêmes conditions et de façon indépendante. Calculer la probabilité que l'un d'eux, au moins, ait acheté un lot de chaises.

   Le choix au hasard de cinq clients qui ont fait leurs choix dans les mêmes conditions et de façon indépendante est la répétition de cinq épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes dont les deux issues sont C ou $\overline{\mathrm{C}}$ .
   La loi de probabilité associée au nombre de réalisation de l'évènement C est une loi binomiale de paramètres 5 et 0,17.

   L'évènement "'un des cinq clients au moins a acheté un lot de chaises" est l'évènement contraire de l'évènement "aucun des cinq clients n'a acheté un lot de chaises".

   Or la probabilité d'obtenir cinq échecs consécutifs est: ${(1-\mathrm{0,17})}^5={\mathrm{0,83}}^5$.

   Par conséquent la probabilité d'obtenir au moins un succès est : $1-{\left(\mathrm{0,83}\right)}^5$

   La probabilité que l'un des cinq clients au moins, ait acheté un lot de chaises arrondie à 10^-3 près est égale à 0,606.

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5. À la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu'il a réalisé en moyenne un bénéfice de 11,80 € par personne entrant dans le magasin.
   On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50 € par table vendue.
   On appelle x le bénéfice exprimé en euros qu'il a réalisé par lot de chaises vendues. On se propose de calculer x.

   1. Reproduire et compléter le tableau suivant définissant la loi de probabilité « montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin».

      Les différentes situations possibles sont :

      • "Un client achète une table et un lot de chaises" de probabilité $p\left(\mathrm{C}\cap \mathrm{T}\right)=\mathrm{0,08}$. Montant du bénéfice 50 + x.

      • "Un client n'achète qu'un lot de chaises" de probabilité $p\left(\mathrm{C}\cap \overline{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{0,09}$. Montant du bénéfice x.

      • Un montant du bénéfice de 50€ est associé à l'évènement : "Un client n'achète qu'une table" de probabilité $$\begin{array}{lll}p\left(\mathrm{T}\cap \overline{\mathrm{C}}\right)& =& p_{\mathrm{T}}\left(\overline{\mathrm{C}}\right)\times p\left(\mathrm{T}\right)\\ & =& \left(1-p_{\mathrm{T}}\left(\mathrm{C}\right)\right)\times p\left(\mathrm{T}\right)\\ & =& \mathrm{0,2}\times \mathrm{0,1}\\ & =& \mathrm{0,02}\end{array}$$

      • Un bénéfice nul est associé à la réalisitation de l'évènement : "Un client n'achète rien" de probabilité $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{\mathrm{T}}\cap \overline{\mathrm{C}}\right)& =& 1-\left(\mathrm{0,08}+\mathrm{0,02}+\mathrm{0,09}\right)\\ & =& \mathrm{0,81}\end{array}$$

      D'où la loi de probabilité « montant du bénéfice réalisé par personne entrant dans le magasin» :

      Montant du bénéfice	0	50	x	$50+x$
      Probabilité	0,81	0,02	0,09	0,08

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   2. Montrer que l'espérance mathématique de cette loi est égale à $5+\mathrm{0,17}x$.

      L'espérance mathématique de cette loi est d'après la définition : Soit P une loi de probabilité sur un ensemble fini de résultats numériques x_i.
      L'espérance mathématique de cette loi est le nombre noté μ :$$\mu =x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n={\displaystyle \sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i}$$$$\begin{array}{lll}\mu & =& 0\times \mathrm{0,81}+50\times \mathrm{0,02}+x\times \mathrm{0,09}+\left(50+x\right)\times \mathrm{0,08}\\ & =& 1+\mathrm{0,09}x+4+\mathrm{0,08}x\\ & =& 5+\mathrm{0,17}x\end{array}$$

      L'espérance mathématique de cette loi est $\mu =5+\mathrm{0,17}x$

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   3. Conclure.

      Le bénéfice moyen est de 11,80 € par personne entrant dans le magasin, alors μ = 11,80. Donc $$5+\mathrm{0,17}x=\mathrm{11,80}\iff x=40$$

      Le bénéfice réalisé par lot de chaises vendues est de 40€.

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