contrôle du 29 septembre 2007

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte. On demande de recopier sur la copie chaque proposition complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. On peut affirmer que …

   1. $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-2$.
   2. $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.
   3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

   4. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

   Par simple lecture du tableau

   On peut affirmer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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2. La courbe représentative de la fonction f admet …

   1. pour asymptotes les droites d'équation $y=-1$ et $y=3$.
   2. pour asymptotes les droites d'équation $x=-2$ et $x=2$.

   3. la droite d'équation $y=0$ pour asymptote.

   4. la droite d'équation $x=0$ et pour asymptote.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ le tableau ne suffit pas pour déterminer l'existence éventuelle d'une asymptote oblique.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors la droite d'équation $y=0$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.

   La courbe représentative de la fonction f admet la droite d'équation $y=0$ pour asymptote.

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3. Dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet …

   1. 0 solution.
   2. 1 solution.

   3. 2 solutions.

   4. 3 solutions.

   La fonction f est dérivable sur $ℝ$ donc elle est continue sur $ℝ$ .
   Sur chacun des intervalles où la fonction est monotone, nous pouvons appliquer le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   • sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right]$ , f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left[-1;+\infty \right[$ et $0\in \left[-1;+\infty \right[$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right]$.

   • f est continue et strictement croissante sur $\left[-2;2\right]$ à valeurs dans $\left[-1;3\right]$ et $0\in \left[-1;3\right]$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $\left[-2;2\right]$.

   • sur $\left[2;+\infty \right[$ , f est strictement décroissante et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ d'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$, $f\left(x\right)>0$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution dans $\left[2;+\infty \right[$.

   Ainsi, dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.

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4. Dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)>3$ …

   1. n'a pas de solution.
   2. a pour solutions l'ensemble des réels $x>2$.
   3. a toutes ses solutions positives.

   4. a toutes ses solutions négatives.

   • Sur l'intervalle $\left[-2;+\infty \right[$, le maximum de la fonction f est égal à 3, donc pour tout réel $x⩾-2$, $f\left(x\right)⩽3$.

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right]$, f est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left[-1;+\infty \right[$ et $3\in \left[-1;+\infty \right[$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un réel unique $\alpha \in \left]-\infty ;-2\right]$ tel que $f\left(\alpha \right)=3$.

     Or f est strictement décroissante sur cet intervalle. Donc pour tout réel $x<\alpha$, $f\left(x\right)>3$ avec $\alpha <-2$.

   Dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)>3$ a toutes ses solutions négatives.

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