contrôle du 29 septembre 2007

Corrigé de l'exercice 2

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   la courbe (C) admet pour asymptote l'axe des abscisses alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

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2. La droite d'équation $x=0$ est-elle asymptote à la courbe (C) ?

   Dire que la droite d'équation $x=0$ est asymptote à la courbe (C) signifie que $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$. Comme $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$ alors

   la droite d'équation $x=0$ n'est pas asymptote à la courbe (C).

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3. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction g définie sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$

   1. Déterminer, en justifiant avec soin, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

      Sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$, g est la composée de la fonction f suivie de la fonction inverse.

      Or quand $x>2$, $f\left(x\right)<0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0^{-}$.

      Nous avons donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0^{-}$ et $\underset{X\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=-\infty$ alors $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

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   2. Laquelle de ces trois courbes est la courbe représentative de la fonction g ?

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ alors seules les courbes $C_2$ et $C_3$ peuvent convenir.

      Pour déterminer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction g on peut :

      • Déterminer $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)$

        Nous avons $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=0^{-}$ et $\underset{X\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=-\infty$ alors $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$.

        La courbe $C_3$ est la seule courbe susceptible de représenter la fonction g telle que $\underset{x\to 2}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=-\infty$.

      • Utiliser la propriété sur les variations de l'inverse d'une fonction :

        Les fonctions u et ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction u ne s'annule pas.

        Sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$ , la fonction f est décroissante puis croissante.

        Or la courbe $C_3$ est la seule courbe représentative d'une donction croissante puis décroissante sur l'intervalle $\left]2;+\infty \right[$.

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      La courbe $C_3$ est la courbe représentative de la fonction g.

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