contrôle du 29 septembre 2007

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-x^3-2x^2+4x+2$

1. Étudier la limite de f en $-\infty$ et en $+\infty$.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^3-2x^2+4x+2=\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^3=+\infty$. Donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }-x^3-2x^2+4x+2=\underset{x\to +\infty }{\lim }-x^3=-\infty$. Donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$

      Pour tout réel x, $$f\prime \left(x\right)=-3\times x^{\left(3-1\right)}-2\times 2x^{\left(2-1\right)}+4$$

      Soit $f\prime \left(x\right)=-3x^2-4x+4$

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$

      $f\prime$ est un polynôme du second degré avec $a=-3$, $b=-4$ et $c=4$:

      Le discriminant $\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-4\times \left(-3\right)\times 4=64$. Il y donc deux racines réelles : $$\begin{array}{ccc}{x}_1={\displaystyle \frac{-\left(-4\right)-8}{2\times \left(-3\right)}}={\displaystyle \frac{2}{3}}& \text{ et }& x_2={\displaystyle \frac{-\left(-4\right)+8}{2\times \left(-3\right)}}=-2\end{array}$$

      Un trinôme du second degré est toujours du signe de a sauf pour les valeurs de x comprises entre les racines.
      D'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$

      x	– ∞		$-2$		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. Donner le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs des extremums de f)

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée.

      x	– ∞		$-2$		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$+\infty$		$-6$		${\displaystyle \frac{94}{27}}$		$-\infty$

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      calcul des extremums

      • Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=-2$ et $$\begin{array}{lll}f\left(-2\right)& =& -{\left(-2\right)}^3-2\times {\left(-2\right)}^2+4\times \left(-2\right)+2\\ & =& 8-8-8+2\\ & =& -6\end{array}$$

      • Le maximum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $$\begin{array}{lll}f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)& =& -{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^3-2\times {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2+4\times {\displaystyle \frac{2}{3}}+2\\ & =& -{\displaystyle \frac{8}{27}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}+2\\ & =& {\displaystyle \frac{94}{27}}\end{array}$$

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=7$, admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[4;-3\right]$.
   Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur arrondie de α au dixième près.

   Nous avons :$$\begin{array}{lll}f\left(-4\right)& =& -{\left(-4\right)}^3-2\times {\left(-4\right)}^2+4\times \left(-4\right)+2\\ & =& 64-32-16+2\\ & =& 18\end{array}$$ et $$\begin{array}{lll}f\left(-3\right)& =& -{\left(-3\right)}^3-2\times {\left(-3\right)}^2+4\times \left(-3\right)+2\\ & =& 27-18-12+2\\ & =& -1\end{array}$$

   Ainsi, sur l'intervalle $\left[4;-3\right]$, la fonction f est continue, strictement décroissante et $f\left(-3\right)<7<f\left(-4\right)$. D'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   L'équation $f\left(x\right)=7$ admet une solution unique $\alpha$ située dans l'intervalle $\left[4;-3\right]$.

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   À l'aide de la calculatrice, on détermine des encadrements successifs de $\alpha$ : $$\begin{array}{ccccc}f\left(-3\right)<7<f\left(-4\right)& \iff & -1<7<18& \text{d'où}& -4<\alpha <-3\\ f\left(-\mathrm{3,5}\right)<7<f\left(-\mathrm{3,6}\right)& \iff & \mathrm{6,375}<7<\mathrm{8,336}& \text{d'où}& -\mathrm{3,6}<\alpha <-\mathrm{3,5}\\ f\left(-\mathrm{3,53}\right)<7<f\left(-\mathrm{3,54}\right)& \iff & \mathrm{6,945177}<7<\mathrm{7,138664}& \text{d'où}& -\mathrm{3,54}<\alpha <-\mathrm{3,53}\end{array}$$

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   La valeur arrondie au dixième près de α est $-\mathrm{3,5}$.

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