Afin d'augmenter sa rentabilité, une entreprise décide d'investir dans deux secteurs notés A et B. Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle par :
La figure 1 ci-dessous est la représentation de la surface S d'équation
Sur la figure 2 ci-dessous sont représentées les projections orthogonales dans le plan des lignes de niveau de cote constante . On admet que la cote maximale est réduite à un point T.
Lire les coordonnées du point A de la surface S, le placer sur la figure 2.
Le point A a pour coordonnées
Pour le placement du point A, voir la figure 2 représentée dans la question 3.
Placer le point T sur la figure 1. Est-il possible pour cette entreprise d'espérer obtenir un pourcentage d'augmentation de la rentabilité de 16 % ?
Les coordonnées du point T sont . Nous pouvons le placer sur la figure 1, mais nous ne pouvons pas déterminer graphiquement sa cote. Or
La cote maximale est réduite est celle du point T donc :
Le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité est de 15 %.
figure 1 : Surface S d'équation
Par lecture graphique, avec un investissement de 0,5 unités monétaires dans le secteur A :
quel semble être le pourcentage maximal d'augmentation de rentabilité que la direction peut espérer obtenir ?
figure 2 : Lignes de niveau
Sur la figure 1, l'intersection de la surface S avec le plan d'équation est une courbe dont le sommet a pour ordonnée 2 et pour cote 10.
Sur la figure 2, le plan d'équation est représenté par une droite tangente à la courbe de niveau au point d'ordonnée 2.
Avec un investissement de 0,5 unités monétaires dans le secteur A, la direction peut espérer obtenir une augmentation maximale de 10% de la rentabilité.
quel est alors le montant total de l'investissement qui permet d'obtenir ce pourcentage d'augmentation de la rentabilité ?
Avec , la cote , est atteinte pour . D'où
Le montant total de l'investissement est de 2,5 milliers d'euros.
Graphiquement, est-il préférable d'investir un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B ou 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur B ?
Le point de la surface S est le point qui correspond à un investissement d'un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B. Avec cet investissement, on obtient une augmentation de 12% de la rentabilité.
Que ce soit sur la figure 1 ou 2 la cote du point de la surface S qui correspond à un investissement de 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur B est égale à 10. Donc avec cet investissement, on obtient une augmentation de 10% de la rentabilité.
Le pourcentage d'augmentation de la rentabilité est supérieur avec un investissement d'un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B.
Le budget global que l'entreprise peut investir ne doit pas dépasser 6 milliers d'unités monétaires. Graphiquement, sous la contrainte avec quelle stratégie d'investissement permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité ?
est l'équation d'un plan parallèle à l'axe (Oz). Sa projection sur le plan est la droite d'équation
L'investissement qui permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité est obtenu graphiquement à l'aide de la figure 2, en traçant la droite de coefficient directeur − 1 passant par le point T.
figure 2 : Lignes de niveau
Le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité est obtenu avec un budget de 5 milliers d'unités monétaires.
Le budget total que l'entreprise investit est de 5 milliers d'unités monétaires.
Vérifier que le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité sous cette contrainte est modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle par .
Sous la contrainte Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est est modélisé par la fonction g telle que :
Ainsi, sous la contrainte , le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle par .
Calculer .
d'où . Avec et
est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction g.
Les variations de la fonction g se déduisent du signe de la dérivée :
x | 0 | 2 | 6 | ||
+ | − | ||||
15 |
En déduire le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité que la direction peut espérer obtenir avec un investissement de 5 milliers d'unités monétaires. Quels sont alors les montants investi le secteur A et dans le secteur B ?
Le maximum de la fonction g est atteint pour et
Avec un investissement de 5 milliers d'unités monétaires, la rentabilité augmente de 15% en investissant 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur B.
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