contrôles Spécialité en terminale ES

contrôle du 17 novembre 2008

Corrigé de l'exercice

Afin d'augmenter sa rentabilité, une entreprise décide d'investir dans deux secteurs notés A et B. Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle [0;6] par :f(x;y)=30x+30y2x2-2xy+y2+5avec 0x6 et 0y6

  • x est le nombre de milliers d'unités monétaires investies dans le secteur A ;
  • y est le nombre de milliers d'unités monétaires investies dans le secteur B ;
  • f(x;y)=t, signifie que la rentabilité a augmenté de t %.

partie a

La figure 1 ci-dessous est la représentation de la surface S d'équation z=f(x;y)
Sur la figure 2 ci-dessous sont représentées les projections orthogonales dans le plan (xOy) des lignes de niveau de cote constante z=k. On admet que la cote maximale est réduite à un point T.

  1. Lire les coordonnées du point A de la surface S, le placer sur la figure 2.

    Le point A a pour coordonnées A(1;1,5;12)


    Pour le placement du point A, voir la figure 2 représentée dans la question 3.

  2. Placer le point T sur la figure 1. Est-il possible pour cette entreprise d'espérer obtenir un pourcentage d'augmentation de la rentabilité de 16 % ?

    Les coordonnées du point T sont T(2;3;z) . Nous pouvons le placer sur la figure 1, mais nous ne pouvons pas déterminer graphiquement sa cote. Or f(2;3)=30×2+30×32×22-2×2×3+32+5Soitf(2;3)=15010=15

    La cote maximale est réduite est celle du point T donc :

    Le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité est de 15 %.


    surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    figure 1 : Surface S d'équation z=f(x;y)

  3. Par lecture graphique, avec un investissement de 0,5 unités monétaires dans le secteur A :

    1. quel semble être le pourcentage maximal d'augmentation de rentabilité que la direction peut espérer obtenir ?

      Lignes de niveau : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      figure 2 : Lignes de niveau z=k

      • Sur la figure 1, l'intersection de la surface S avec le plan d'équation x=0,5 est une courbe dont le sommet a pour ordonnée 2 et pour cote 10.

      • Sur la figure 2, le plan d'équation x=0,5 est représenté par une droite tangente à la courbe de niveau x=0,5 au point d'ordonnée 2.

      Avec un investissement de 0,5 unités monétaires dans le secteur A, la direction peut espérer obtenir une augmentation maximale de 10% de la rentabilité.


    2. quel est alors le montant total de l'investissement qui permet d'obtenir ce pourcentage d'augmentation de la rentabilité ?

      Avec x=0,5, la cote z=10, est atteinte pour y=2 . D'où

      Le montant total de l'investissement est de 2,5 milliers d'euros.


  4. Graphiquement, est-il préférable d'investir un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B ou 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur B ?

    • Le point A(1;1,5;12) de la surface S est le point qui correspond à un investissement d'un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B. Avec cet investissement, on obtient une augmentation de 12% de la rentabilité.

    • Que ce soit sur la figure 1 ou 2 la cote du point B(3;2;k) de la surface S qui correspond à un investissement de 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur B est égale à 10. Donc avec cet investissement, on obtient une augmentation de 10% de la rentabilité.

    Le pourcentage d'augmentation de la rentabilité est supérieur avec un investissement d'un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B.


  5. Le budget global que l'entreprise peut investir ne doit pas dépasser 6 milliers d'unités monétaires. Graphiquement, sous la contrainte x+y=b avec b6 quelle stratégie d'investissement permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité ?

    x+y=b est l'équation d'un plan parallèle à l'axe (Oz). Sa projection sur le plan (xOy) est la droite d'équation x+y=by=-x+b

    L'investissement qui permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité est obtenu graphiquement à l'aide de la figure 2, en traçant la droite de coefficient directeur − 1 passant par le point T.

    Lignes de niveau : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    figure 2 : Lignes de niveau z=k

    Le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité est obtenu avec un budget de 5 milliers d'unités monétaires.


partie b

Le budget total que l'entreprise investit est de 5 milliers d'unités monétaires.

  1. Vérifier que le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité sous cette contrainte est modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle [0;6] par g(x)=30x2-4x+6.

    Sous la contrainte x+y=5y=-x+5 Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est est modélisé par la fonction g telle que :g(x)=30x+30(-x+5)2x2-2x(-x+5)+(-x+5)2+5=1502x2+2x2-10x+x2-10x+25+5=1505x2-20x+30=30x2-4x+6

    Ainsi, sous la contrainte x+y=5, le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle [0;6] par g(x)=30x2-4x+6.


  2. Calculer g(x).

    g=30u d'où g=-30uu2. Avec u(x)=x2-4x+6 et u(x)=2x-4

    g est la fonction définie sur l'intervalle [0;6] par g(x)=-30(2x-4)(x2-4x+6)2.


  3. Étudier les variations de la fonction g.

    Les variations de la fonction g se déduisent du signe de la dérivée :

    x0 2 6
    g(x) +0|| 
    g(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    15

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

  4. En déduire le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité que la direction peut espérer obtenir avec un investissement de 5 milliers d'unités monétaires. Quels sont alors les montants investi le secteur A et dans le secteur B ?

    Le maximum de la fonction g est atteint pour x=2 et g(2)=3022-4×2+6=15

    Avec un investissement de 5 milliers d'unités monétaires, la rentabilité augmente de 15% en investissant 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur B.



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