contrôles en terminale ES

contrôle du 27 septembre 2008

thèmes abordés

  • Fonctions composées : limites et dérivée.
  • Étude d'une fonction rationnelle, limites, dérivée, variations.

exercice 1

  1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1;+[ par f(x)=2x-1x+1. On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

    1. À l'aide d'un tableau, étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du réel x.

    2. Déterminer, en justifiant avec soin, limx-1+f(x) et limx+f(x).

    3. On note f la dérivée de la fonction f. Calculer f(x).

    4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 0.

  2. Soit g la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction carrée, g est définie sur l'intervalle ]-1;+[ par g(x)=[f(x)]2. On note Cg sa courbe représentative dans un repère du plan.

    1. Déterminer limx-1+g(x) et limx+g(x). En déduire l'existence d'asymptotes à la courbe Cg.

    2. On note g la dérivée de la fonction g. Calculer g(x).


exercice 2

La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur . On sait que :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

    1. Déterminer limx-f(x) et limx+f(x) .

    2. Déterminer f(0) et f(0)

  2. Soit g la fonction définie sur par g(x)=1f(x)

    1. Déterminer, en justifiant avec soin, limx-g(x) et limx+g(x).

    2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0.


exercice 3

Soit f la fonction définie sur ]-1;+[ par f(x)=x2-8x+7x+1 . Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée Cf, est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.

    1. Calculer limx-1x>-1f(x) . En déduire l'existence d'une asymptote pour Cf.

    2. Calculer limx+f(x)

    3. Montrer que la courbe Cf admet une deuxième asymptote d'équation y=x-9.

  1. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Calculer f(x)

    2. Étudier le signe de f(x)

    3. Donner le tableau des variations de f. (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs des extremums de f)

  2. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 1.

  3. Tracer sur le graphique donné en annexe, les asymptotes à la courbe 𝒞f ainsi que la tangente T.

ANNEXE

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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