contrôles Spécialité en terminale ES

contrôle du 17 novembre 2008

thème :

Fonction de deux variables.

Afin d'augmenter sa rentabilité, une entreprise décide d'investir dans deux secteurs notés A et B. Le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité est modélisé par la fonction f définie sur l'intervalle 06 par :fxy=30x+30y2x2-2xy+y2+5avec 0x6 et 0y6

partie a

La figure 1 ci-dessous est la représentation de la surface S d'équation z=fxy :

surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

figure 1 : Surface S d'équation z=fxy

Sur la figure 2 ci-dessous sont représentées les projections orthogonales dans le plan xOy des lignes de niveau de cote constante z=k. On admet que la cote maximale est réduite à un point T.

Lignes de niveau : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

figure 2 : Lignes de niveau z=k

  1. Lire les coordonnées du point A de la surface S, le placer sur la figure 2.

  2. Placer le point T sur la figure 1. Est-il possible pour cette entreprise d'espérer obtenir un pourcentage d'augmentation de la rentabilité de 16 % ?

  3. Par lecture graphique, avec un investissement de 0,5 unités monétaires dans le secteur A :

    1. quel semble être le pourcentage maximal d'augmentation de rentabilité que la direction peut espérer obtenir ?

    2. quel est alors le montant total de l'investissement qui permet d'obtenir ce pourcentage d'augmentation de la rentabilité ?

  4. Graphiquement, est-il préférable d'investir un millier d'unités monétaires dans le secteur A et 1,5 milliers d'unités monétaires dans le secteur B ou 3 milliers d'unités monétaires dans le secteur A et 2 milliers d'unités monétaires dans le secteur B ?

  5. Le budget global que l'entreprise peut investir ne doit pas dépasser 6 milliers d'unités monétaires. Graphiquement, sous la contrainte x+y=b avec b6 quelle stratégie d'investissement permet d'obtenir le meilleur taux d'augmentation de la rentabilité ?

partie b

Le budget total que l'entreprise investit est de 5 milliers d'unités monétaires.

  1. Vérifier que le taux du pourcentage d'augmentation de la rentabilité sous cette contrainte est modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle 06 par gx=30x2-4x+6.

  2. Calculer gx.

  3. Étudier les variations de la fonction g.

  4. En déduire le pourcentage maximum d'augmentation de la rentabilité que la direction peut espérer obtenir avec un investissement de 5 milliers d'unités monétaires. Quels sont alors les montants investi le secteur A et dans le secteur B ?



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