On considère la fonction f définie sur par .
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan d'origine O. (Unités : 2 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées).
La partie hachurée ci-dessous est limitée par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et les droites d'équation et .
Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe en .
Calculer .
Résoudre dans l'inéquation
Établir le tableau des variations de la fonction f . En déduire le signe de f.
Calculer, en cm2, l'aire de la partie hachurée.
D'après sujet bac Pondichery 2009
Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée.
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.
Rappel de notations : désigne la probabilité de A, désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B, signifie la probabilité de « A ou B » et signifie la probabilité de « A et B ».
On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6. La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est
Soient A et B deux évènements tels que , et à ; alors
Soient A et B deux évènements indépendants de probabilité non nulle, alors on a obligatoirement :
Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et a (où a est un réel). On sait que , et .
On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors
Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées.
Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer un panier est égale à 0,6.
Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des autres.
Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.
Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque au moins un panier soit supérieure à 0,999 ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Un opérateur de téléphonie mobile propose à ses abonnés deux forfaits :
On admet que d'une année sur l'autre, le nombre de clients de cet opérateur est stable et que :
En 2008, 80% des clients de cet opérateur étaient abonnés à la formule A.
Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste G de sommets A et B et donner sa matrice de transition.
Pour un entier naturel n donné, on note avec , la matrice ligne décrivant l'état probabiliste lors de l'année 2008 + n.
L'état probabiliste initial est donc
Calculer la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A en 2009.
Montrer que, pour tout entier naturel n,
On pose, pour tout entier naturel n :
Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5.
Exprimer en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n :
Déduire de ce qui précède, la limite de la suite . Donner une interprétation concrète de ce résultat.
À partir de quelle année, la probabilité qu'un client soit abonné à la formule A sera-t-elle inférieure à 0,401 ?
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
La courbe Γ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction F définie et dérivable sur . On note la fonction dérivée de F.
La courbe Γ passe par les points , et C.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe Γ en
La courbe Γ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 2 et la tangente au point d'abscisse 4 passe par le point .
Déterminer une équation de la droite (BD).
À partir du graphique et des renseignements fournis :
Déterminer la limite de la fonction F en .
Dresser le tableau de signes de sur
Déterminer et .
Déterminer .
On considère trois fonctions , et définies sur par :
Étudier le signe de sur et calculer .
Soit g la fonction définie sur par
Calculer . En déduire une primitive de la fonction .
Calculer .
Étudier le signe de sur
Une primitive de la fonction est la fonction définie sur par où a et b sont deux réels. Montrer que puis, déterminer a et b.
Calculer .
La fonction F de la partie A est la primitive qui s'annule en − 2 d'une des trois fonctions , ou définies dans la partie B. Calculer .
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
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