contrôles en terminale ES

contrôle du 27 mars 2010

correction de l'exercice 1

Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $e^{\frac{1}{x}} ⩾ e$
$\frac{1}{x}$ n'est pas définie en 0. Par conséquent, 0 est une valeur interdite.
Pour tout réel x non nul, $\begin{matrix} e^{\frac{1}{x}} ⩾ e & \Leftrightarrow & e^{\frac{1}{x}} ⩾ e^{1} \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{x} ⩾ 1 & La fonction exponentielle est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & \frac{1 - x}{x} ⩾ 0 \end{matrix}$
Étudions le signe du quotient à l'aide d'un tableau de signes
x
$- \infty$ 0 1 $+ \infty$
Signe de x − + $|$ +
Signe de $(1 - x)$ + + $0_{|}^{|}$ −
Signe de $\frac{1 - x}{x}$ − + $0_{|}^{|}$ −
L'ensemble des solutions de l'inéquation $e^{\frac{1}{x}} ⩾ e$ est $] 0; 1]$
1. En utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, simplifier l'expression $\frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}}$
  Pour tout réel x, $\begin{matrix} \frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}} = e^{(3 x + 5) - (3 - 2 x)} & soit & \frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}} = e^{5 x + 2} \end{matrix}$
  Ainsi pour tout réel x, $\frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}} = e^{5 x + 2}$
2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}} = e^{2 x^{2} - 1}$
  Pour tout réel x, $\begin{matrix} \frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}} = e^{2 x^{2} - 1} & \Leftrightarrow & e^{5 x + 2} = e^{2 x^{2} - 1} \\ \Leftrightarrow & 5 x + 2 = 2 x^{2} - 1 \\ \Leftrightarrow & 2 x^{2} - 5 x - 3 = 0 \end{matrix}$
  Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ avec $a = 2$ , $b = - 5$ et $c = - 3$ .
  $Δ = b^{2} - 4 a c$ d'où : $\begin{matrix} Δ = {(- 5)}^{2} - 4 \times 2 \times (- 3) = 49 \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc l'équation a deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{5 - 7}{4} = - \frac{1}{2} \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{5 + 7}{4} = 3 \end{array}$
  L'ensemble des solutions de l'équation $\frac{e^{3 x + 5}}{e^{3 - 2 x}} = e^{2 x^{2} - 1}$ est $S = {- \frac{1}{2}; 3}$

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x	$- \infty$		0		1		$+ \infty$
Signe de x		−		+	$\|$	+
Signe de $(1 - x)$		+		+	$0_{\|}^{\|}$	−
Signe de $\frac{1 - x}{x}$		−		+	$0_{\|}^{\|}$	−