contrôles en terminale ES

contrôle du 27 mars 2010

thèmes abordés

  • Fonction logarithme.
  • Fonction exponentielle.
  • Probabilités.
  • Suites.

exercice 1 : commun à tous les candidats

  1. Résoudre dans l'inéquation  e1xe

    1. En utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, simplifier l'expression  e3x+5e3-2x

    2. Résoudre dans l'équation  e3x+5e3-2x=e2x2-1


exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie a

La courbe Cf tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle -1+. On désigne par f la fonction dérivée de f sur -1+.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La tangente à la courbe Cf au point A10 passe par le point B01,5 . En déduire f1 et f1.

  2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. (Justifier)

    Courbe 1Courbe 2Courbe 3
    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur -1+ par fx=3-3xx3+1.

  1. Déterminer les limites de la fonction f en − 1 et en + ∞. Interpréter graphiquement les résultats.

  2. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de l'intervalle -1+, fx=2x+1-ax+bx2-x+1.

  3. Soit F la primitive de la fonction f telle que F1=2ln2.

    1. Déterminer une équation de la tangente d à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1.

    2. Calculer Fx

    3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0.


exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit un la suite numériquedéfinie par u0=300 et pour tout entier naturel n, un+1=0,75un+200 .

  1. Utiliser les droites d'équations y=x et y=0,75x+200 pour construire les quatre premiers termes de la suite un.(Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe ci-dessous)
    Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite un ?

    Droites : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Soit vn la suite définie, pour tout entier naturel n par vn=un-800.

    1. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

    2. Exprimer alors vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=800-500×0,75n.

    3. La suite un est-elle convergente ?

  3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une année sur l'autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
    On note un le nombre d'abonnés pour l'année 2010 + n. On a donc u0=300 et un+1=0,75un+200.

    1. À partir de quelle année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 ?

    2. Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d'espérer 1 000 abonnés  ?


exercice 3 : commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 10−3 près.
Une étude sur la fréquentation d'une salle de spectacle a permis d'établir les résultats suivants :

À la sortie d'un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note :

    1. Grâce aux données de l'énoncé, donner les probabilités suivantes pA, pAC et pA¯C

    2. Calculer pAC

  1. Démontrer que la probabilité de l'évènement C est 0,54.

  2. Le spectateur choisi n'a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur possédant un abonnement ?

  3. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs. Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un abonnement ?


exercice 4 : commun à tous les candidats

La production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise est comprise entre 0 et 8000. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction CT définie sur l'intervalle 08 par CTx=x22+xe2-xx représente le nombre de milliers d'articles fabriqués.

partie a

La fonction coût moyen, notée C est la fonction définie sur 08 par Cx=CTxx

  1. Donner une expression du coût moyen Cxen fonction de x.

  2. Déterminer CxC désigne la fonction dérivée de la fonction coût moyen C

    1. Résoudre dans l'équation 12-e2-x=0.

    2. Résoudre dans l'inéquation 12-e2-x>0.

    3. En déduire le sens de variations de la fonction coût moyen C sur 08.

  3. Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?

partie b

Chaque millier d'articles est vendue 3500 €. La recette totale pour x milliers d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par Rx=3,5x en milliers d'euros.
Le bénéfice est donc défini par Bx=Rx-CTx. En annexe, sont représentées les fonctions CT et R.

  1. Par lecture graphique déterminer :

    1. le coût moyen minimal ;

    2. l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise ;

    3. la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.

    On fera apparaître les constructions nécessaires.

  2. Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise.

Courbes représentatives des fonctions coût et recette : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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