contrôle du 27 mars 2010

Corrigé de l'exercice 2

partie a

La courbe $C_f$ tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left]-1;+\infty \right[$.

1. La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;0\right)$ passe par le point $B\left(0;\mathrm{1,5}\right)$ . En déduire $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

   • $A\left(1;0\right)$ est un point de la courbe $C_f$ donc $f\left(1\right)=0$

     ---

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente (AB). Donc $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-0}{0-1}}=-\mathrm{1,5}\end{array}$$$f\prime \left(1\right)=-\mathrm{1,5}$

     ---

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. (Justifier)

   Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

   ---

   Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   • Les variations de F se déduisent du signe de f

     x	− 1				1		$+\infty$
     $f\left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
     $F\left(x\right)$

     La courbe C₂ ne convient pas.

   • $f\left(0\right)=3$. Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0 est égal à 3.

     La courbe C₃ ne convient pas.

   La courbe C₁ est donc la seule courbe susceptible de représenter la fonction F.

   ---

partie b

Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-3x}{x^3+1}}$.

1. Déterminer les limites de la fonction f en − 1 et en $+\infty$. Interpréter graphiquement les résultats.

   • $\underset{x\to -1}{\lim }3-3x=6$ et $\underset{x\to -1}{\lim }{x}^3+1=0^{+}$ alors par quotient, $\underset{x\to -1}{\lim }{\displaystyle \frac{3-3x}{x^3+1}}=+\infty$

     $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=-1$.

     ---

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3-3x}{x^3+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-3x}{x^3}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-3}{x^2}}=0$

     $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ alors, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

     ---

2. Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{ax+b}{x^2-x+1}}$.

   Pour tout réel $x\ne -1$, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{ax+b}{x^2-x+1}}& =& {\displaystyle \frac{2\left(x^2-x+1\right)-\left(x+1\right)\left(ax+b\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-2x+2-a{x}^2-bx-ax-b}{x^3-x^2+x+x^2-x+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(2-a\right)x^2-\left(2+a+b\right)x+2-b}{x^3+1}}\end{array}$$

   Par idendification à $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3-3x}{x^3+1}}$ ; a, b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcll}2-a& =& 0& \text{terme en }{x}^2\\ 2+a+b& =& 3& \text{terme en }x\\ 2-b& =& 3& \text{terme constant}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcr}a& =& 2\\ b& =& -1\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x+1}}-{\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-x+1}}$.

   ---

3. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(1\right)=2\ln 2$.

   1. Déterminer une équation de la tangente d à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1.

      F est une primitive de la fonction f donc une équation de la tangente d à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1 est $$\begin{array}{ccc}y=f\left(1\right)\times \left(x-1\right)+F\left(1\right)& \text{Soit}& y=0\times \left(x-1\right)+2\ln 2\end{array}$$

      La tangente d à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1 a pour équation $y=2\ln 2$

      ---

   2. Calculer $F\left(x\right)$

      f est la différence de deux fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f_1\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ et $f_2\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-1}{x^2-x+1}}$

      • Cherchons une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$

        Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, posons $u\left(x\right)=x+1$. $u\left(x\right)>0$ et la fonction u est dérivable sur $\left]-1;+\infty \right[$ avec $u\prime \left(x\right)=1$.

        Donc, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, on a :$$\begin{array}{ccc}{f}_1\left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}& \text{avec}& u\left(x\right)>0\end{array}$$

        Donc une primitive de la fonction $f_1$ est la fonction $F_1$ définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $F_1\left(x\right)=2\ln \left(x+1\right)$.

      • Cherchons une primitive $F_2$ de la fonction $f_2$

        Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ posons $u\left(x\right)=x^2-x+1$ ; la fonction u est dérivable sur $\left]-1;+\infty \right[$ et $u\prime \left(x\right)=2x-1$.

        La fonction $f_2$ se présente sous la forme : $$f_2={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$$

        Étudions le signe de u, fonction polynôme du second degré :

        $\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times 1\times 1=-3$

        $\mathrm{\Delta }<0$ alors le signe de $u\left(x\right)$ est le même que celui du coefficient de $x^2$.

        Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, on a :$$\begin{array}{ccc}{f}_2\left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}& \text{avec}& u\left(x\right)>0\end{array}$$

        Donc une primitive de la fonction $f_2$ est la fonction $F_2$ définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $F_2\left(x\right)=\ln \left(x^2-x+1\right)$.

      Sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$, $f\left(x\right)=f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)$. Donc les primitives de la fonction f sont les fonctions F définies sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $$\begin{array}{ccc}F\left(x\right)=F_1\left(x\right)-F_2\left(x\right)+c& \text{Soit}& F\left(x\right)=2\ln \left(x+1\right)-\ln \left(x^2-x+1\right)+c\\ & \text{D'où}& F\left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2-x+1}}\right)+c\hfill \end{array}$$

      Or $$\begin{array}{ccc}F\left(1\right)=2\ln 2& \iff & \ln \left({\displaystyle \frac{{\left(1+1\right)}^2}{1^2-1+1}}\right)+c=2\ln 2\\ & \iff & \ln 4+c=2\ln 2\hfill \\ & \iff & c=0\hfill \end{array}$$

      F est la fonction définie sur $\left]-1;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\ln {\displaystyle \frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2-x+1}}$

      ---

   3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0.

      F est une primitive de la fonction f donc une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0 est $$\begin{array}{ccc}y=f\left(0\right)\times \left(x-0\right)+F\left(0\right)& \text{Soit}& y=3x\end{array}$$

      La tangente T à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0 a pour équation $y=3x$

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.