contrôles en terminale ES

contrôle du 27 mars 2010

correction de l'exercice 4

La production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise est comprise entre 0 et 8000. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C_{T}$ définie sur l'intervalle $[0; 8]$ par $C_{T} (x) = \frac{x^{2}}{2} + x e^{2 - x}$ où x représente le nombre de milliers d'articles fabriqués.

partie a

La fonction coût moyen, notée C est la fonction définie sur $] 0; 8]$ par $C (x) = \frac{C_{T} (x)}{x}$

Donner une expression du coût moyen $C (x)$ en fonction de x.
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 8]$ , $\begin{array}{l} C (x) & = & \frac{C_{T} (x)}{x} \\ = & \frac{\frac{x^{2}}{2} + x e^{2 - x}}{x} \\ = & \frac{x}{2} + e^{2 - x} \end{array}$
La fonction coût moyen est la fonction C définie sur $] 0; 8]$ par $C (x) = \frac{x}{2} + e^{2 - x}$ .
Déterminer $C' (x)$ où $C'$ désigne la fonction dérivée de la fonction coût moyen C
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 8]$ , $C' (x) = \frac{1}{2} - e^{2 - x}$
Ainsi, $C'$ est la fonction définie sur $] 0; 8]$ par $C' (x) = \frac{1}{2} - e^{2 - x}$ .

Résoudre dans $ℝ$ l'équation $\frac{1}{2} - e^{2 - x} = 0$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} \frac{1}{2} - e^{2 - x} = 0 & \Leftrightarrow & e^{2 - x} = \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & 2 - x = \ln (\frac{1}{2}) \\ \Leftrightarrow & x = 2 - \ln (\frac{1}{2}) \end{array}$
Dans $ℝ$ , l'équation $\frac{1}{2} - e^{2 - x} = 0$ admet pour solution $x = 2 + \ln 2$ .
Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $\frac{1}{2} - e^{2 - x} > 0$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{l} \frac{1}{2} - e^{2 - x} > 0 & \Leftrightarrow & - e^{2 - x} > - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & e^{2 - x} < \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow & 2 - x < \ln (\frac{1}{2}) \\ \Leftrightarrow & - x < - 2 - \ln 2 \\ \Leftrightarrow & x > 2 + \ln 2 \end{array}$
L'ensemble solution de l'inéquation $\frac{1}{2} - e^{2 - x} > 0$ est l'intervalle $] 2 + \ln 2; + \infty [$ .

En déduire le sens de variations de la fonction coût moyen C sur $] 0; 8]$ .

Les variations de la fonction de la fonction coût moyen C se déduisent du signe de la dérivée $C'$ $] 0; 8]$

x	0		$2 + \ln 2$		8
$C'$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C (x)$			$C (2 + \ln 2)$

Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
D'après les variations de la fonction C, le coût moyen est minimal pour $x = 2 + \ln 2$ .
Or $2 + \ln 2 \approx 2,693$ et $\begin{array}{l} C (2 + \ln 2) & = & \frac{2 + \ln 2}{2} + e^{2 - (2 + \ln 2)} \\ = & \frac{2 + \ln 2}{2} + \frac{1}{2} \\ = & \frac{3 + \ln 2}{2} \approx 1,847 \end{array}$
Le coût moyen minimal est de 1 847 € par milliers d'unités, atteint pour une production de 2693 pièces.

partie b

Chaque millier d'articles est vendue 3500 €. La recette totale pour x milliers d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par $R (x) = 3,5 x$ en milliers d'euros.
Le bénéfice est donc défini par $B (x) = R (x) - C_{T} (x)$ . En annexe, sont représentées les fonctions $C_{T}$ et R.

Par lecture graphique déterminer :
1. le coût moyen minimal ;
  Soit M un point d'abscisse non nulle de la courbe représentative de la fonction coût total. M a pour coordonnées $M (x; C_{T} (x))$
  Le coefficient directeur de la droite (OM) est égal à : $\frac{C_{T} (x)}{x} = C M (x)$ .
  Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour un point M de la courbe représentative de la fonction coût total tel que le coefficient directeur de la droite (OM) soit le plus petit possible.
  On constate que c'est la tangente à la courbe représentative de la fonction coût total passant par l'origine qui a le plus petit coefficient directeur.
  Avec la précision permise par le graphique, le nombre de milliers d'articles à produire pour obtenir un coût moyen minimal est 2,7 pour un coût total d'environ 5 milliers d'euros. Soit $C (2,7) \approx \frac{5}{2,7} \approx 1,8$
  Graphiquement, le coût moyen minimal par milliers d'unités est d'environ 1,8 milliers d'euros.
2. l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise ;
  Le bénéfice est défini par $B (x) = R (x) - C_{T} (x)$ . Graphiquement, l'entreprise réalise un bénéfice positif quand la courbe représentative de la fonction R est située au dessus de la courbe représentative de la fonction $C_{T}$
  Graphiquement, l'entreprise réalise un profit pour une production comprise entre 0,9 et 7 milliers d'articles.
3. la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
  Pour maximiser son profit, l'entreprise compare le prix de vente au coût marginal. Tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice. Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente.
  Or, le coût marginal peut être modélisé par la dérivée de la fonction coût total. Par conséquent, en un point de la courbe représentative de la fonction coût total $C_{T}$ , le coût marginal est égal au coefficient directeur de la tangente à cette courbe. Le bénéfice est donc maximal en un point de la courbe $C_{T}$ situé sous la courbe représentative de la fonctions R où la tangente à la courbe est parallèle à la droite représentative de la fonction recette.
  Graphiquement, le bénéfice est maximal pour une production de 3,9 milliers d'articles.
Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise.
Avec la calculatrice, on peut déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives des fonctions R et $C_{T}$ ou alors chercher les solutions de l'équation $B (x) = 0$
L'entreprise réalise un profit pour une production comprise entre 882 et 6986 articles.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.