contrôle du 27 mars 2010

correction de l'exercice 3

1. 1. Grâce aux données de l'énoncé, donner les probabilités suivantes $p\left(A\right)$, $p\left(A\cap C\right)$ et $p_{\overline{A}}\left(C\right)$

      • 60 % des spectateurs possèdent un abonnement donc $p\left(A\right)=\mathrm{0,6}$.

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      • parmi les spectateurs ne possédant pas d'abonnement, 75 % ont été influencé par une critique donc $p_{\overline{A}}\left(C\right)=\mathrm{0,75}$.

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      • 24 % des spectateurs, possèdent un abonnement et ont été influencé par une critique donc $p\left(A\cap C\right)=\mathrm{0,24}$.

   2. Calculer $p_A\left(C\right)$

      $$\begin{array}{ccc}{p}_A\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap C\right)}{p\left(A\right)}}& \text{Soit}& p_A\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,4}\end{array}$$

      La probabilité qu'unspectateur ayant un abonnement soit influencé par une critique est égale à 0,4.

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2. Démontrer que la probabilité de l'évènement C est 0,54.

   Les évènements A et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(C\right)=p\left(A\cap C\right)+p\left(\overline{A}\cap C\right)$$

   Or $$\begin{array}{cccc}& p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)& \text{et}& p\left(\overline{A}\cap C\right)=p_{\overline{A}}\left(C\right)\times p\left(\overline{A}\right)\\ \text{Soit}& p\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}& \text{et}& p\left(\overline{A}\cap C\right)=\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,3}\end{array}$$

   Donc $$p\left(C\right)=\mathrm{0,24}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,54}$$

   Ainsi, la probabilité de l'évènement C est égale à 0,54.

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3. Le spectateur choisi n'a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur possédant un abonnement ?

   $$p_{\overline{C}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}}$$

   Or d'après la formule des probabilités totales :$$\begin{array}{lll}p\left(A\right)=p\left(A\cap C\right)+p\left(A\cap \overline{C}\right)& \iff & p\left(A\cap \overline{C}\right)=p\left(A\right)-p\left(A\cap C\right)\\ & \text{Soit}& p\left(A\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,24}=\mathrm{0,36}\end{array}$$

   D'autre part, $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{C}\right)=1-p\left(C\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,54}=\mathrm{0,46}\end{array}$$

   D'où : $$p_{\overline{C}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,36}}{\mathrm{0,45}}}\approx \mathrm{0,783}$$

   Arrondie à 10⁻³ près, la probabilité qu'un spectateur qui n'a pas été influencé par une critique, posséde un abonnement est 0,783.

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4. On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs. Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un abonnement ?

   Choisir successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs est modélisé par la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes dont la probabilité du succès est égale à 0,6.
   La loi de probabilité associée au nombre de spectateurs ayant un abonnement est une loi binomiale de paramètres 0,6 et 3.

   L'évènement E « deux spectateurs au plus ont un abonnement » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois spectateurs ont un abonnement » dont la probabilité est égale à ${\mathrm{0,6}}^3$. D'où $$p\left(E\right)=1-{\mathrm{0,6}}^3=\mathrm{0,784}$$

   La probabilité qu'il y ait au plus deux spectateurs ayant un abonnement est égale à 0,784.

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