Soit la suite numériquedéfinie par et pour tout entier naturel n, .
Utiliser les droites d'équations et pour construire les quatre premiers termes de la suite .(Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe ci-dessous)
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite ?
Pour obtenir la représentation des quatre premiers termes de la suite :
Placer le terme initial sur l'axe des abscisses.
Comme , est l'ordonnée du point de la droite d'équation d'abscisse 300.
À l'aide de la droite d'équation on rabat l'ordonnée sur l'axe des abscisses.
Pousuivre le procédé pour représenter les termes .
Graphiquement, la suite semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Vérifions que 800 est la bonne valeur :
Si, lorsque n tend vers la suite admet une limite finie alors est solution de l'équation
Si, la suite admet une limite finie quand n tend vers alors cette limite est égale à 800.
Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par .
Démontrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, alors la suite est une suite géométrique de raison 0,75.
Calculons le premier terme de la suite :
Ainsi, la suite est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme .
Exprimer alors , en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, .
est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme alors pour tout entier n,
Comme pour tout entier n, alors .
Donc pour tout entier n, .
La suite est-elle convergente ?
donc d'où, . Soit .
La suite converge vers 800.
Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une année sur l'autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
On note le nombre d'abonnés pour l'année 2010 + n. On a donc et .
À partir de quelle année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 ?
L'évolution du nombre d'abonnés est modélisée par la suite .
D'après la question précédente, on a .
Par conséquent, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 pour le plus petit entier n tel que
Soit .
Le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 à partir de 2024.
Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d'espérer 1 000 abonnés ?
Pour tout entier n,
Ainsi, pour tout entier n, donc la suite est croissante.
La suite est croissante et converge vers 800 alors pour tout entier n, .
Il n'est pas possible d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 800 avec ce modéle.
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