contrôles en terminale ES

contrôle du 27 mars 2010

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit (un) la suite numériquedéfinie par u0=300 et pour tout entier naturel n, un+1=0,75un+200 .

  1. Utiliser les droites d'équations y=x et y=0,75x+200 pour construire les quatre premiers termes de la suite (un).(Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe ci-dessous)
    Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (un) ?

    Pour obtenir la représentation des quatre premiers termes de la suite (un) :

    • Placer le terme initial u0=300 sur l'axe des abscisses.

    • Comme u1=0,75×u0+200, u1 est l'ordonnée du point de la droite d'équation y=0,75x+200 d'abscisse 300.

    • À l'aide de la droite d'équation y=x on rabat l'ordonnée u1 sur l'axe des abscisses.

    • Pousuivre le procédé pour représenter les termes u2 et u3.

    Suite Un : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Graphiquement, la suite (un) semble converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Vérifions que 800 est la bonne valeur :

    Si, lorsque n tend vers + la suite (un) admet une limite finie 𝓁 alors 𝓁 est solution de l'équation 𝓁=0,75𝓁+2000,25𝓁=200𝓁=800

    Si, la suite (un) admet une limite finie quand n tend vers + alors cette limite est égale à 800.


  2. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n par vn=un-800.

    1. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-800=0,75un+200-800=0,75un-600=0,75(un-800)=0,75vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,75vn alors la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75.

      Calculons le premier terme de la suite (vn) : v0=u0-800Soitv0=300-800=-500

      Ainsi, la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme v0=-500.


    2. Exprimer alors vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=800-500×0,75n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme v0=-500 alors pour tout entier n, vn=-500×0,75n

      Comme pour tout entier n, vn=un-800 alors un=vn+800.

      Donc pour tout entier n, un=800-500×0,75n.


    3. La suite (un) est-elle convergente ?

      0<0,75<1 donc limn+0,75n=0 d'où, limn+800-500×0,75n=800. Soit limn+un=800.

      La suite (un) converge vers 800.


  3. Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une année sur l'autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
    On note un le nombre d'abonnés pour l'année 2010 + n. On a donc u0=300 et un+1=0,75un+200.

    1. À partir de quelle année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 ?

      L'évolution du nombre d'abonnés est modélisée par la suite (un).

      D'après la question précédente, on a un=800-500×0,75n.

      Par conséquent, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 pour le plus petit entier n tel que 800-500×0,75n790-500×0,75n-100,75n0,02 Multiplication par un réel négatifln(0,75n)ln0,02 La fonction ln  est strictement croissante nln0,75ln0,02 Pour tout réel  a  strictement postif, lnan=nlnanln0,02ln0,75ln0,75<0

      Soit n14 .

      Le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 à partir de 2024.


    2. Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d'espérer 1 000 abonnés  ?

      Pour tout entier n, un+1-un=(800-500×0,75n+1)-(800-500×0,75n)un+1-un=-500×0,75n+1+500×0,75nun+1-un=-500×0,75n×0,75+500×0,75nun+1-un=500×0,75n×0,25un+1-un=125×0,75n

      Ainsi, pour tout entier n, un+1-un>0 donc la suite (un) est croissante.

      La suite (un) est croissante et converge vers 800 alors pour tout entier n, un800.

      Il n'est pas possible d'envisager un nombre d'abonnés supérieur à 800 avec ce modéle.



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