contrôle du 27 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 1

PARTIE A : Un ajustement affine

1. 1. Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$ associé à la série statistique dans dans le plan muni d'un repère orthogonal.

   2. Déterminer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer G sur le graphique

      Les coordonnées du point moyen G sont $G\left(\mathrm{4,5};\mathrm{153,31}\right)$

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2. 1. À l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement D de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième)

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y=\mathrm{5,64}x+\mathrm{127,93}$ (Coefficients arrondis arrondis au centième)

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   2. Tracer la droite D sur le graphique.

      La droite passe par les points de coordonnées $\left(0;\mathrm{127,93}\right)$ et le point moyen $G\left(\mathrm{4,5};\mathrm{153,31}\right)$.

3. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant (en milliards d'euros) de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » que l'on peut prévoir pour 2010 (le résultat sera arrondi au dixième).

   Le rang de l'année 2010 est 10 et : $$\mathrm{5,64}\times 10+\mathrm{127,93}=\mathrm{184,33}$$

   Selon cet ajustement, la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » serait de 184,3 milliards d'euros en 2010.

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PARTIE b : Une autre estimation

1. Dans cette question, les pourcentages seront arrondis à 0,01% près.

   1. Calculer le pourcentage d'évolution du montant de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » entre 2007 et 2009.

      Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution du montant de la dépense des ménages entre 2007 et 2009 est :$${\displaystyle \frac{\mathrm{175,7}}{\mathrm{171,3}}}\approx \mathrm{1,02569}$$ Soit une augmentation de 2,57%

      Entre 2007 et 2009, le montant de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » a augmenté d'environ 2,57%.

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   2. En déduire le pourcentage annuel moyen d'augmentation du montant de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » entre 2007 et 2009.

      Soit t % le pourcentage annuel moyen d'augmentation du montant de la dépense des ménages. Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage annuel moyen d'augmentation du montant de la dépense des ménages est $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$. Par conséquent sur deux ans, t est la solution positive de l'équation $$\begin{array}{ccccc}{\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^2=\mathrm{1,0257}& \text{Soit}& {\displaystyle \frac{t}{100}}=\sqrt{\mathrm{1,0257}}-1& \text{D'où}& t\approx \mathrm{1,28}\end{array}$$

      Entre 2007 et 2009, le montant de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » a augmenté d'environ 1,28% par an.

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2. On suppose qu'en 2010 le montant de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » augmente de 1,28% par rapport à 2009.
   Calculer le montant (en milliards d'euros) de la dépense des ménages dans le secteur « biens de consommation » que l'on peut prévoir pour 2010 (le résultat sera arrondi au dixième).

   Avec une augmentation de 1,28% le montant de la dépense des ménages sera $\mathrm{175,7}\times \mathrm{1,0128}\approx \mathrm{177,9}\mathrm{}$

   Avec une augmentation de 1,28%, le montant de la dépense des ménages serait de 177,9 milliards d'euros en 2010.

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