contrôles en terminale ES

contrôle du 27 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 2

  1. Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

    1. f est définie sur par f(x)=x3-5x+12 et F(1)=0.

      D'après la formule donnant les primitives de xn, les primitives de f sont les fonctions F définies sur telles que :F(x)=x3+14-5×x1+12+12x+cSoitF(x)=x44-5x22+x2+c

      Or F(1)=014-52+12+c=0c=74

      Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur par F(x)=x44-5x22+x2+74.


    2. f est définie sur l'intervalle ]-14;+[ par f(x)=2(1+4x)2 et F(0)=12.

      Pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]-14;+[, posons u(x)=1+4x d'où u(x)=4.

      Ainsi, f=12×uu2 d'où F=12×(-1u)+c.

      Par conséquent, les primitives de f sont les fonctions F définies sur ]-14;+[ telles que : F(x)=-18x+2+c

      Or F(0)=12-12+c=12c=1

      Ainsi, la primitive de la fonction f est la fonction F défine sur ]-14;+[ par F(x)=1-18x+2.


  2. Soit F et G les fonctions définies sur par : F(x)=2-xx2+1 et G(x)=x2-x+3x2+1
    Montrer que F et G sont deux primitives sur d'une même fonction f que l'on précisera.

    F=uv d'où F=uv-uvv2. Avec u et v fonctions définies sur par : u(x)=2-x d'oùu(x)=-1etv(x)=x2+1 d'oùv(x)=2x

    Donc pour tout réel x, F(x)=-(x2+1)-2x(2-x)(x2+1)2F(x)=x2-4x-1(x2+1)2

    Donc F est une primitive de la fonction f définie sur par f(x)=x2-4x-1(x2+1)2

    Calculons G(x)-F(x) : G(x)-F(x)=x2-x+3x2+1-2-xx2+1=x2-x+3-2+xx2+1=x2+1x2+1=1

    Ainsi pour tout réel x, G(x)-F(x)=1 soit G(x)=F(x)+1. Donc F et G sont deux primitives sur de la même fonction f.

    F et G sont deux primitives de la fonction f définie sur par f(x)=x2-4x-1(x2+1)2.



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