contrôles en terminale ES

contrôle du 27 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 3

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+[. On sait que f(2)=-4 et que le signe de la fonction f est donné par le tableau suivant :

x0 4 +
Signe de f(x)   0||+ 

partie a

  1. Soit F la primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ telle que F(4)=12. On note C la courbe représentative de la fonction F.

    1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

      F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ alors, pour tout réel f strictement positif, F(x)=f(x). Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de f

      x0 4 +
      Signe de f(x)   0||+ 
      Variations de F   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      12

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
    2. On suppose que la courbe C passe par le point A(2;3). Donner une équation de la tangente à la courbe C au point A

      Une équation de la tangente à la courbe C au point A(2;3) est y=F(2)×(x-2)+F(2). Soit y=f(2)×(x-2)+F(2). D'où y=-4×(x-2)+3y=-4x+11

      La tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 a pour équation y=-4x+11.


  2. Tracer la courbe représentative d'une fonction qui satisfait les conditions obtenues à la question précédente, dans un repère orthonormé du plan. (Unités graphiques 1 cm sur chaque axe)
    Placer le point A ainsi que le point d'abscisse 4 et tracer les tangentes à la courbe en ces points.

    Courbe représentative d'une fonction : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b

f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=1-12x2-16x3.

    1. Calculer la primitive F de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[ telle que F(4)=12.

      D'après la formule donnant les primitives sur l'intervalle ]0;+[ de 1xn avec n entier et n2 : F(x)=x+12x+162x2+cF(x)=x+12x+8x2+c

      Or F(4)=124+124+816+c=12c=-7

      Ainsi, F est la fonction défine sur sur l'intervalle ]0;+[ par F(x)=x+12x+8x2-7.


    2. Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 a pour équation y=-4x+11.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 est y=F(2)×(x-2)+F(2)

      Or F(2)=f(2)=1-124-168=-4etF(2)=2+122+84-7=3

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 a donc pour équation : y=-4×(x-2)+3y=-4x+11

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 2 a pour équation y=-4x+11.


  1. Déterminer limx0F(x). Interpréter graphiquement le résultat.

    limx0+12x=+ et limx08x2=+ donc limx0x+12x+8x2-7=+

    Ainsi, limx0F(x)=+. L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de la fonction F.


    1. Déterminer limx+F(x).

      limx+12x=0 et limx+8x2=0 donc limx+x+12x+8x2-7=+

      Ainsi, limx+F(x)=+.


    2. Montrer que la courbe représentative de la fonction F admet pour asymptote la droite d'équation y=x-7.

      F(x)-(x-7)=12x+8x2 et limx+12x+8x2=0. Donc

      la courbe représentative de la fonction F admet pour asymptote la droite d'équation y=x-7 en +.



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