contrôle du 15 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 2

1. La population mondiale est passée à 6,9 milliards en 2010. Avec un taux de croissance annuel de 1,14%, en quelle année la population mondiale dépassera-t-elle 9 milliards ?

   Pour tout entier naturel n, notons $P_n$ l'effectif en milliards de la population mondiale l'année $2010+n$.

   D'une année sur l'autre, la population augmente de 1,14%. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 1,14% est égal à $$1+{\displaystyle \frac{\mathrm{1,14}}{100}}=\mathrm{1,0114}$$ Donc pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=\mathrm{1,0114}\times P_n$. Ainsi, $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,0114 et de premier terme $P_0=\mathrm{6,9}$ . D'où pour tout entier naturel n, $$P_n={\mathrm{1,0114}}^n\times \mathrm{6,9}$$

   La population mondiale dépassera 9 milliards l'année $2010+n$ où n est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{1,0114}}^n\times \mathrm{6,9}⩾9& \iff & {\mathrm{1,0114}}^n⩾{\displaystyle \frac{9}{\mathrm{6,9}}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,0114}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{9}{\mathrm{6,9}}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{1,0114}\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{9}{\mathrm{6,9}}}\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{9}{\mathrm{6,9}}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,0114}\right)}}& \end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{9}{\mathrm{6,9}}}\right)}{\ln \left(\mathrm{1,0114}\right)}}\approx \mathrm{23,4}$ donc $n=24$

   Avec un taux de croissance annuel de 1,14%, la population mondiale dépassera 9 milliards en 2034.

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2. Selon une estimation, le stock de thon rouge de l'Atlantique-Est diminue de 3,2% par an. Dans combien d'années le stock de thon rouge de l'Atlantique-Est aura-t-il diminué de plus de 50% ?

   Soit $P_0$ le stock initial de thon rouge de l'Atlantique-Est. Pour tout entier naturel n, notons $P_n$ le stock de thon rouge de l'Atlantique-Est au bout de n années.

   D'une année sur l'autre, le stock diminue de 3,2%. Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 3,2% est égal à $$1-{\displaystyle \frac{\mathrm{3,2}}{100}}=\mathrm{0,968}$$ Donc pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=\mathrm{0,968}\times P_n$. Ainsi, $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,968 et de premier terme $P_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$P_n={\mathrm{0,968}}^n\times P_0$$

   Le coefficient multiplicateur associé à diminution de 50% est égal à 0,50. n est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,968}}^n\times P_0⩽\mathrm{0,5}\times P_0& \iff & {\mathrm{0,968}}^n⩽\mathrm{0,5}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,968}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,5}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{0,968}\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,5}\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,5}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,968}\right)}}& \ln \left(\mathrm{0,968}\right)<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,5}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,968}\right)}}\approx \mathrm{21,3}$ donc $n=22$

   Dans 22 ans, le stock de thon rouge de l'Atlantique-Est aura diminué de plus de 50%.

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