contrôle du 15 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2\ln x-{\displaystyle \frac{x}{2}}$ et dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.

1. Calculer les limites de la fonction f en 0 et en $+\infty$

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ par conséquent, $\underset{x\to 0}{\lim }2\ln x-{\displaystyle \frac{x}{2}}=-\infty$

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{2}}=+\infty$ nous sommes en présence de la forme indéterminée $\infty -\infty$.

     Or pour tout réel $x>0$, $$2\ln x-{\displaystyle \frac{x}{2}}=x\times \left(2\times {\displaystyle \frac{\ln x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$$

     Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\ln x}{x}}=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et par produit des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\times \left({\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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2. 1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$ .

      $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{4-x}{2x}}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4-x}{2x}}$.

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   2. Donner le tableau des variations de f. On précisera la valeur exacte du maximum de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $4-x$. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      x	0			4		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		$4\ln 2-2$		$-\infty$

      D'après le tableau des variations f admet un maximum atteint pour $x=4$ et $$f\left(4\right)=2\ln 4-{\displaystyle \frac{4}{2}}=4\ln 2-2$$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 et la tracer sur le graphique.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est : $$\begin{array}{c}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)\end{array}$$

   Or $f\left(1\right)=2\ln 1-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{4-1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Donc $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{3}{2}}\left(x-1\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-2\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 1 a pour équation $y={\displaystyle \frac{3}{2}}x-2$.

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   La tangente T passe par les points de coordonnées $\left(0;-2\right)$ et $\left(2;1\right)$.

4. Donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$.

   f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ donc continue sur cet intervalle. Sur chacun des intervalles où f est strictement monotone, nous pouvons appliquer le théorème de la valeur intermédiaire :

   • Sur l'intervalle $\left]0;4\right[$ f est strictement croissante, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $f\left(4\right)\approx \mathrm{0,77}$ par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $0<x_1<4$

   • Sur l'intervalle $\left]4;+\infty \right[$ f est strictement décroissante, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $f\left(4\right)\approx \mathrm{0,77}$ par conséquent, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $x_2>4$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.

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5. Application économique.
   Une entreprise produit sur commande un article. La production quotidienne peut varier de 10 à 100 articles. Le bénéfice réalisé par cette production est modélisé par la fonction f de la façon suivante :
   $f\left(x\right)$ est le montant, exprimé en milliers d'euros, du bénéfice réalisé par l'entreprise pour une production de x dizaines d'articles.

   1. Combien d'articles l'entreprise doit-elle produire par jour pour réaliser un bénéfice maximum ? Préciser alors ce bénéfice arrondi à l'euro près.

      Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=4$ et $f\left(4\right)\approx \mathrm{0,773}$

      Arrondi à l'euro près, le bénéfice maximum est de 773 € obtenu pour une production quotidienne de 40 articles.

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   2. Combien d'articles l'entreprise doit-elle produire par jour pour ne pas travailler à perte ?

      L'entreprise ne travaille pas à perte pour une production quotidienne de x dizaines d'articles telle que $f\left(x\right)⩾0$. Or :

      • Sur l'intervalle $\left[1;4\right]$f est strictement croissante et $f\left(x_1\right)=0$. Par conséquent, pour tout réel $x\in \left[x_1;4\right]$, $f\left(x\right)⩾0$

      • Sur l'intervalle $\left[4;10\right]$f est strictement décroissante et $f\left(x_2\right)=0$. Par conséquent, pour tout réel $x\in \left[4;x_2\right]$, $f\left(x\right)⩾0$

      Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ est $S=\left[x_1;x_2\right]$

      Or les troncatures au dixième près de $x_1$ et $x_2$, obtenues à la calculatrice, sont $x_1\approx \mathrm{1,4}$ et $x_2\approx \mathrm{8,6}$. D'où en tenant compte des variations de la fonction f, $x_1>\mathrm{1,4}$ et $x_2⩽\mathrm{8,6}$.

      L'entreprise ne travaille pas à perte avec une production quotidienne comprise entre 15 et 86 articles.

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