contrôle du 15 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 3

1. Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes après avoir précisé dans chaque cas, l'ensemble de définition de l'équation.

   1. L'équation $\ln \left(1-2x\right)-\ln 2=\ln \left(x+1\right)+\ln 3$ est définie pour $$\begin{array}{cccc}& 1-2x>0\hfill & \text{et}& x+1>0\hfill \\ \iff & x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill & \text{et}& x>-1\hfill \end{array}$$

      Ainsi, l'équation $\ln \left(1-2x\right)-\ln 2=\ln \left(x+1\right)+\ln 3$ est définie sur l'intervalle $\left]-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$, $$\begin{array}{ccc}\ln \left(1-2x\right)-\ln 2=\ln \left(x+1\right)+\ln 3& \iff & \ln \left({\displaystyle \frac{1-2x}{2}}\right)=\ln 3\left(x+1\right)\end{array}$$ La fonction $\ln$ étant strictement croissante, pour tout réel $x\in \left]-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$, ${\displaystyle \frac{1-2x}{2}}=3\left(x+1\right)$. Or $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1-2x}{2}}=3\left(x+1\right)& \iff & {\displaystyle \frac{1}{2}}-x=3x+3\hfill \\ & \iff & -4x={\displaystyle \frac{5}{2}}\hfill \\ & \iff & x=-{\displaystyle \frac{5}{8}}\hfill \end{array}$$ Comme $-{\displaystyle \frac{5}{8}}\in \left]-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right[$ :

      L'ensemble solution de l'équation $\ln \left(1-2x\right)-\ln 2=\ln \left(x+1\right)+\ln 3$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{5}{8}}\right\}$

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   2. L'équation $2\ln x+\ln 2=\ln \left(x+3\right)$ est définie pour $$\begin{array}{cccc}& x>0\hfill & \text{et}& x+3>0\hfill \\ \iff & x>0\hfill & \text{et}& x>-3\hfill \end{array}$$

      Ainsi, l'équation $2\ln x+\ln 2=\ln \left(x+3\right)$ est définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccccc}2\ln x+\ln 2=\ln \left(x+3\right)& \iff & \ln \left(x^2\right)+\ln 2=\ln \left(x+3\right)& \iff & \ln \left(2x^2\right)=\ln \left(x+3\right)\end{array}$$ La fonction $\ln$ étant strictement croissante, pour tout réel $x>0$, $2x^2=x+3$. Or $$\begin{array}{ccc}2x^2=x+3& \iff & 2x^2-x-3=0\hfill \end{array}$$

      Il s'agit donc de chercher les solutions strictement positives de l'équation du second degré $2x^2-x-3=0$.

      Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-x-3=0$ avec $a=2\text{, }b=-1\text{ et }c=-3$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1-4\times 2\times \left(-3\right)=25\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-5}{2\times 2}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+5}{2\times 2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Comme ${\displaystyle \frac{3}{2}}\in \left]0;+\infty \right[$ et $-1\notin \left]0;+\infty \right[$ :

      L'ensemble solution de l'équation $2\ln x+\ln 2=\ln \left(x+3\right)$ est $S=\left\{{\displaystyle \frac{3}{2}}\right\}$

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2. Résoudre dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ l'inéquation $2{\left(\ln x\right)}^2+\ln x-1⩾0$

   Pour tout réel x strictement positif, posons $X=\ln x$ . L'inéquation s'écrit alors $2X^2+X-1⩾0$

   Cherchons les racines du polynôme du second degré $2X^2+X-1$ avec $a=2\text{, }b=1\text{ et }c=-1$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=9\end{array}$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& X_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_1={\displaystyle \frac{-1-3}{4}}=-1\\ \text{et}& X_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& X_2={\displaystyle \frac{-1+3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Le coefficient de $X^2$ est strictement positif donc $$\begin{array}{ccc}2X^2+X-1⩾0& \iff & X\in \left]-\infty ;-1\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[\end{array}$$

   Soit pour tout réel x strictement positif, $\left]0;+\infty \right[$ : $$\begin{array}{ccccccc}\ln x⩽-1& \text{ou}& \ln x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \ln x⩽-\ln \mathrm{e}\hfill & \text{ou}& \ln x⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{e}\hfill \\ \multicolumn{3}{c}{}& \iff & \ln x⩽\ln {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\hfill & \text{ou}& \ln x⩾\ln \sqrt{\mathrm{e}}\hfill \\ \multicolumn{3}{c}{}& \iff & 0<x⩽{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\hfill & \text{ou}& x⩾\sqrt{\mathrm{e}}\hfill \end{array}$$

   L'ensemble solution de l'inéquation $2{\left(\ln x\right)}^2+\ln x-1⩾0$ est $S=\left]0;{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\right]\cup [\sqrt{\mathrm{e}};+\infty [$

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