contrôles en terminale ES

contrôle du 05 fevrier 2011

Corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les Élèves

partie a

Le tableau suivant donne l'évolution des effectifs d'étudiants en CPGE entre les années 2001-2002 et
2009-2010 :

Source DEPP.
Année	2001 2002	2002 2003	2003 2004	2004 2005	2005 2006	2006 2007	2007 2008	2008 2009	2009 2010
Rang de l'année $x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Effectifs $y_{i}$	70 703	72 015	72 053	73 147	74 490	76 160	78 072	80 003	81 135

On donne ci-dessous, le nuage de points associé à la série statistique $(x_{i}; y_{i})$ .

Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le repère précédent.
Les coordonnées du point moyen G sont $G (5; 75342)$
La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l'unité )
  Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $y = 1346 x + 68613$ (Coefficients arrondis arrondis à l'unité )
2. Tracer la droite D dans le repère précédent.
  La droite passe par le point moyen $G (5; 75342)$ et le point de coordonnées $(10; 82073)$ .
En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, donner une estimation du pourcentage d'évolution du nombre d'étudiants inscrits en CPGE en 2011-2012 par rapport à 2009-2010.
Le rang de l'année 2011-2012 est 11 et : $\frac{1346 \times 11 + 68613}{81135} = \frac{83419}{81135} \approx 1,028$
Selon cet ajustement, le nombre d'étudiants inscrits en CPGE en 2011-2012 serait en augmentation de 2,8% par rapport au nombre d'étudiants inscrits en CPGE en 2009-2010 .

partie b

Le tableau ci-dessous donne l'origine scolaire des étudiants entrant en première année de CPGE en 2009-2010 en pourcentage ainsi que les effectifs des nouveaux entrants en première année de CPGE en 2009-2010 :

	Origine des étudiants en %				Nouveaux entrants
	Term. S	Term. ES	Term. L	Autres	Nouveaux entrants
Filière scientifique	95,2	0	0	4,8	23806
Filière économique et commerciale	47,3	42,2	0,7	9,8	10003
Filière littéraire	23	21,3	54,9	0,8	6654

On choisit au hasard le dossier informatisé d'un étudiant dans la liste des nouveaux entrants en première année de CPGE en 2009-2010 et on note :

E l'évènement : « Le dossier choisi est celui d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES » ;
C l'évènement : « Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière économique et commerciale » ;
L l'évènement : « Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière littéraire ».

Les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondis au millième.

Calculer les probabilités $p (C)$ et $p (L)$ .
Le nombre d'étudiants entrant en première année de CPGE en 2009-2010 est : $23806 + 10003 + 6654 = 40463$
Il y a équiprobabilité dans le choix du dossier d'où $\begin{matrix} p (C) = \frac{10003}{40463} \approx 0,247 & et & p (L) = \frac{6654}{40463} \approx 0,164 \end{matrix}$
La probabilité de choisir le dossier d'un étudiant de la filière économique et commerciale est 0,247 et la probabilité de choisir le dossier d'un étudiant de la filière littéraire est 0,164.
1. Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière économique et commerciale.
  Donner la probabilité notée $p_{C} (E)$ que ce soit le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES.
  42,2% des étudiants entrant de la filière économique et commerciale étaient en terminale ES d'où $p_{C} (E) = 0,422$
2. Définir par une phrase l'évènement $E \cap C$ puis calculer sa probabilité.
  $E \cap C$ est l'évènement « Le dossier choisi est celui d'un étudiant de filière économique et commerciale dont l'origine scolaire est la terminale ES »
  D'après la formule des probabilités composées, $p (E \cap C) = p_{C} (E) \times p (C)$ . Soit $p (E \cap C) = 0,422 \times 0,247 \approx 0,104$
  La probabilité de choisir le dossier d'un étudiant de filière économique et commerciale dont l'origine scolaire est la terminale ES est 0,104.
Montrer que la probabilité de choisir le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES est 0,139. (valeur arrondie au millième près)
Les étudiants entrant en première année de CPGE dont l'origine est la terminale ES sont dans la filière économique et commerciale ou dans filière littéraire. D'après la formule des probabilités totales : $p (E) = p (E \cap C) + p (E \cap L)$
Or $p (E \cap L) = p_{L} (E) \times p (L)$ . Soit $p (E \cap L) = 0,213 \times 0,164 \approx 0,035$
D'où $p (E) = 0,104 + 0,035 = 0,139$
La probabilité de choisir le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES est 0,139.
Le dossier choisi est celui d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES. Calculer la probabilité que ce soit le dossier d'un étudiant de la filière économique et commerciale.
$p_{E} (C) = \frac{p (E \cap C)}{p (E)}$ . Soit $p_{E} (C) = \frac{0,104}{0,139} \approx 0,748$
La probabilité de choisir le dossier d'un étudiant de la filière économique et commerciale sachant que l'origine scolaire est la terminale ES est 0,748.

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