contrôle du 05 fevrier 2011

Corrigé de l'exercice 3 : commun à tous les Élèves

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.

partie a

1. Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de $f\left(1\right)$, $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(\mathrm{e}\right)$, où $f\prime$ est la fonction dérivée de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   • La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point A donc $f\left(1\right)=0$

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T qui coupe l'axe des ordonnées au point $\left(0;2\right)$ d'où $f\prime \left(1\right)=-2$

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   • La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point B d'abscisse e d'où $f\prime \left(\mathrm{e}\right)=0$

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2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   • $f\prime \left(1\right)=-2$. La courbe $C_2$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction $f\prime$

   • Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

     Or $f\left(1\right)=0$ donc la tangente à la courbe représentative de la fonction F admet au point d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
     La courbe $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$ représentative la fonction $f\prime$	Courbe $C_3$ représentative la fonction F

partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\left(\ln \left(x\right)\right)}^2-2\ln \left(x\right)$

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x strictement positif, posons $X=\ln x$. L'équation s'écrit alors $$\begin{array}{ccc}{X}^2-2X=0& \iff & X\left(X-2\right)=0\end{array}$$

   Soit $$\begin{array}{ccc}\ln x=0\iff x=1& \text{ou}& \ln x=2\iff x={\mathrm{e}}^2\end{array}$$

   L'ensemble solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $S=\left\{1;{\mathrm{e}}^2\right\}$

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2. 1. Étudier la limite de f en $+\infty$.

      Pour tout réel x strictement positif, ${\left(\ln \left(x\right)\right)}^2-2\ln \left(x\right)=\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-2\right)$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)-2=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-2\right)=+\infty$

      Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   2. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.

      Nous pouvons étudier la limite de f en 0 de deux façons :

      • $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ d'où $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\ln \left(x\right)\right)}^2=+\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }-2\ln \left(x\right)=+\infty$ donc par somme, $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\ln \left(x\right)\right)}^2-2\ln \left(x\right)=+\infty$

      • ou bien $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)-2=-\infty$ donc par produit, $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)\left(\ln \left(x\right)-2\right)=+\infty$

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.

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3. 1. Calculer la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

      $$f\prime \left(x\right)=2\ln \left(x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)-2}{x}}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)-2}{x}}$

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   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ , $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $2\ln \left(x\right)-2$. Or $$\begin{array}{ccc}2\ln \left(x\right)-2⩾0& \iff & \ln \left(x\right)⩾1\hfill \\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      x	0			e		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$		$+\infty$		$-1$		$+\infty$

      D'après le tableau des variations f admet un minimum atteint pour e et $$f\left(\mathrm{e}\right)={\left(\ln \left(\mathrm{e}\right)\right)}^2-2\ln \left(\mathrm{e}\right)=1-2=-1$$

4. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(\mathrm{e}\right)=-\mathrm{e}$. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse e.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F  au point d'abscisse e est : $$\begin{array}{c}y=F\prime \left(\mathrm{e}\right)\times \left(x-\mathrm{e}\right)+F\left(\mathrm{e}\right)\end{array}$$

   Or F est une primitive de la fonction f d'où $F\prime \left(\mathrm{e}\right)=f\left(\mathrm{e}\right)=-1$. Donc $$\begin{array}{ccc}y=-1\times \left(x-\mathrm{e}\right)-\mathrm{e}& \iff & y=-x\end{array}$$

   La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse e a pour équation $y=-x$.

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