contrôle du 05 fevrier 2011

Corrigé de l'exercice 2 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

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1. Avec une augmentation de la consommation 2% par an d'un produit, dans 14 ans la consommation de ce produit aura augmenté de …

   Soit $C_0$ la consommation actuelle de ce produit. Pour tout entier naturel n, notons $C_n$ la consommation de ce produit dans n années.

   Avec une augmentation annuelle de 2% de la consommation, nous avons pour tout entier naturel n, $C_{n+1}=\mathrm{1,02}\times C_n$. Ainsi, $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $C_0$.

   Dans 14 ans la consommation de ce produit sera $$C_{\mathrm{14}}={\mathrm{1,02}}^{14}\times C_0\approx \mathrm{1,319}{C}_0$$

   Avec une augmentation de la consommation 2% par an d'un produit, dans 14 ans la consommation de ce produit aura augmenté de plus de 30%.

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   28%

   moins de 30%

   plus de 30%

2. Avec une baisse de la consommation 2% par an d'un produit, la consommation de ce produit aura diminué d'au moins 30% dans …

   Soit $C_0$ la consommation actuelle de ce produit. Pour tout entier naturel n, notons $C_n$ la consommation de ce produit dans n années.

   D'une année sur l'autre, la consommation diminue de 2%. Donc pour tout entier naturel n, $C_{n+1}=\mathrm{0,98}\times C_n$. Ainsi, $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $C_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$C_n={\mathrm{0,98}}^n\times C_0$$

   n est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,98}}^n\times C_0⩽\mathrm{0,7}\times C_0& \iff & {\mathrm{0,98}}^n⩽\mathrm{0,7}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,98}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,7}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{0,98}\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,7}\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,7}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,98}\right)}}& \ln \left(\mathrm{0,98}\right)<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,7}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,98}\right)}}\approx \mathrm{17,7}$ donc $n=18$

   Avec une baisse de la consommation 2% par an d'un produit, la consommation de ce produit aura diminué d'au moins 30% dans 18 ans.

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   14 ans

   15 ans

   18 ans

3. Si a et b sont deux réels strictement positifs alors, …

   • $\ln a-\ln b=\ln {\displaystyle \frac{a}{b}}$

   • $2\ln a+\ln b=\ln \left(a^{2}b\right)$

   • $\ln a-{\displaystyle \frac{\ln b}{2}}=\ln a-\ln \sqrt{b}=\ln \left({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}}\right)$

   Si a et b sont deux réels strictement positifs alors, $\ln a-{\displaystyle \frac{\ln b}{2}}=\ln \left({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}}\right)$

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   ${\displaystyle \frac{\ln a}{\ln b}}=\ln a-\ln b$

   $2\ln a+\ln b=\ln \left(2ab\right)$

   $\ln a-{\displaystyle \frac{\ln b}{2}}=\ln \left({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}}}\right)$

4. Pour tout réel x strictement positif, …

   • $2\ln x-\ln \left(2x\right)=2\ln x-\ln x-\ln 2=\ln x-\ln 2=\ln {\displaystyle \frac{x}{2}}$

   • $\ln x-\ln \left(2x\right)=\ln x-\ln x-\ln 2=-\ln 2=\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}$

   $2\ln x-\ln \left(2x\right)=0$

   $\ln x-\ln \left(2x\right)=\ln \mathrm{0,5}$

   $\ln x-\ln \left(2x\right)=-2$

5. La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e …

   Soit f la fonction logarithme népérien définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=\ln x$. Sa dérivée est définie pour tout réel x strictement positif par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e est $$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}\times \left(x-\mathrm{e}\right)+\ln \mathrm{e}& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}-1+1\hfill \\ & \iff & y={\displaystyle \frac{x}{\mathrm{e}}}\hfill \end{array}$$

   La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e passe par l'origine du repère

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   passe par l'origine du repère

   a pour coefficient directeur 1

   a pour coefficient directeur e

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