contrôles en terminale ES

contrôle du 05 fevrier 2011

thème abordé

Ajustement affine. Probabilités

Fonction logarithme népérien.

Graphes

exercice 1 : commun à tous les Élèves

partie a

Le tableau suivant donne l'évolution des effectifs d'étudiants en CPGE entre les années 2001-2002 et
2009-2010 :

Source DEPP.
Année 2001 20022002 20032003 20042004 20052005 20062006 20072007 20082008 20092009 2010
Rang de l'année xi123456789
Effectifs yi
70 70372 015 72 05373 147 74 490 76 160 78 072 80 003 81 135

On donne ci-dessous, le nuage de points associé à la série statistique xiyi.

Nuage de points : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. Placer le point G dans le repère précédent.

  2. La forme du nuage permet d'envisager un ajustement affine.

    1. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite D d'ajustement de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à l'unité )

    2. Tracer la droite D dans le repère précédent.

  3. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les deux années suivantes, donner une estimation du pourcentage d'évolution du nombre d'étudiants inscrits en CPGE en 2011-2012 par rapport à 2009-2010.

partie b

Le tableau ci-dessous donne l'origine scolaire des étudiants entrant en première année de CPGE en 2009-2010 en pourcentage ainsi que les effectifs des nouveaux entrants en première année de CPGE en 2009-2010 :

 Origine des étudiants en %Nouveaux entrants
Term. STerm. ESTerm. LAutres
Filière scientifique95,2004,823806
Filière économique et commerciale47,342,20,79,810003
Filière littéraire2321,354,90,86654

On choisit au hasard le dossier informatisé d'un étudiant dans la liste des nouveaux entrants en première année de CPGE en 2009-2010 et on note :

Les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondis au millième.

  1. Calculer les probabilités pC et pL.

    1. Le dossier choisi est celui d'un étudiant de la filière économique et commerciale.
      Donner la probabilité notée pCE que ce soit le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES.

    2. Définir par une phrase l'évènement EC puis calculer sa probabilité.

  2. Montrer que la probabilité de choisir le dossier d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES est 0,139. (valeur arrondie au millième près)

  3. Le dossier choisi est celui d'un étudiant dont l'origine scolaire est la terminale ES.
    Calculer la probabilité que ce soit le dossier d'un étudiant de la filière économique et commerciale.


exercice 2 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

  1. Avec une augmentation de la consommation 2% par an d'un produit, dans 14 ans la consommation de ce produit aura augmenté de …

    28%

    moins de 30%

    plus de 30%

  2. Avec une baisse de la consommation 2% par an d'un produit, la consommation de ce produit aura diminué d'au moins 30% dans …

    14 ans

    15 ans

    18 ans

  3. Si a et b sont deux réels strictement positifs alors, …

    lnalnb=lna-lnb

    2lna+lnb=ln2ab

    lna-lnb2=lnab

  4. Pour tout réel x strictement positif, …

    2lnx-ln2x=0

    lnx-ln2x=ln0,5

    lnx-ln2x=-2

  5. La tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse e

    passe par l'origine du repère

    a pour coefficient directeur 1

    a pour coefficient directeur e



exercice 2 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère le graphe suivant :

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Le graphe est-il connexe ?

  2. Le graphe admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui, en préciser une.

  3. Justifier la non-existence d'un cycle eulérien pour le graphe . Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien ?

  4. Soit M la matrice associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).On donne la matriceM3=41031278312100111811113110143110141211421211427831241031281111100111311014311014121142121142 Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet G et aboutissant au sommet E. Citer alors toutes ces chaînes

  5. Donner un encadrement du nombre chromatique X du graphe. Déterminer ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche.


exercice 3 : commun à tous les Élèves

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 0+ dont on donne la représentation graphique Cf dans le repère ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans cette partie , on admet que :

  1. Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de f1, f1 et fe, où f est la fonction dérivée de f sur 0+.

  2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f et une autre d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction f et celle qui est associée à la fonction F.

    Courbe C1Courbe C2Courbe C3
    Courbe 1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.Courbe 3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à 0+ par fx=lnx2-2lnx

  1. Résoudre l'équation fx=0.

    1. Étudier la limite de f en + ∞.

    2. Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de f.

    1. Calculer la dérivée f de la fonction f.

    2. Étudier les variations de la fonction f.

  2. Soit F la primitive de la fonction f telle que Fe=-e. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse e.



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