Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Soit g la fonction définie pour tout réel x par
proposition 1 :
La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 a pour équation .
La dérivée de la fonction g est la fonction définie pour tout réel x par
On a et . La tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 0 a pour équation
La proposition 1 est vraie.
On donne ci-dessous la courbe (C) représentative de la dérivée d'une fonction f définie sur .
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur et on note sa dérivée seconde.
Les droites d et d' sont tangentes à la courbe (C) respectivement aux points A d'abscisse et B d'abscisse 1.
proposition 2 :
.
Pour tout réel x de l'intervalle on a donc la fonction f est croissante sur cet intervalle, d'où .
La proposition 2 est fausse.
proposition 3 :
La fonction f est concave sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , la dérivée de la fonction f est croissante donc la fonction f est convexe sur l'intervalle .
La proposition 3 est fausse.
proposition 4 :
.
Le nombre est égal au coefficient directeur de la tangente d' à la courbe (C) au point passant par le point de coordonnées d'où
La proposition 4 est vraie.
proposition 5 :
Au point d'abscisse 3, la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion.
Au point d'abscisse 3, la dérivée de la fonction f change de variation donc en ce point, la fonction f change de convexité. Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 3.
La proposition 5 est vraie.
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