contrôle du 13 décembre 2016

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(2x-8\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f et $f\prime \prime$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. 1. Montrer que pour tout nombre réel x, on a : $f\prime \left(x\right)=\left(x-2\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$.

      f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2x-8& \text{;}& u\prime \left(x\right)=2\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+\left(2x-8\right)\times \left(\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\right)\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-4{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\\ & =& -2{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\\ & =& \left(x-2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(x-2\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(x-2\right)$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$-4\mathrm{e}$

      ---

2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ admet une unique solution α. Donner une valeur arrondie à 10^{− 2} près de α.

   • Pour tout réel x : $$\begin{array}{rcl}\left(2x-8\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}⩾0& \iff & 2x-8⩾0\\ & \iff & x⩾4\end{array}$$

     Par conséquent, les solutions éventuelles de l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ appartiennent à l'intervalle $\left[4;+\infty \right[$

   • On a $f\left(4\right)=0$ et $f\left(5\right)=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}$. Sur l'intervalle $\left[4;5\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(4\right)<{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}<f\left(5\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. :
     l'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[4;5\right]$.

   L'équation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}$ admet une unique solution $\alpha \in \left[4;5\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{4,11}$

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3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=-8$ et $f\prime \left(0\right)=-2$ d'où :

   La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-2x-8$.

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4. 1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$

      $f\prime$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f\prime =uv$ d'où $f″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x-2& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f″\left(x\right)& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+\left(x-2\right)\times \left(\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\\ & =& \mathrm{0,5}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}\end{array}$$

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{x{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}x}}{2}}$, nous pouvons déduire du signe de $f″\left(x\right)$ la convexité de la fonction f :

      x	$-\infty$		0		$+\infty$
      Signe de $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      Convexité de f		f est concave		f est convexe

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      La fonction f est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

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   2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées.

      La fonction f change de convexité pour $x=0$ donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 0. D'autre part, $f\left(0\right)=-8$

      La courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion de coordonnées $\left(0;-8\right)$.

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