contrôles en terminale ES

contrôle du 6 mai 2017

Corrigé de l'exercice 2 (spécialité)

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 45 % de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante, alors que 70 % de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante.

En 2016, 72 % des clients paient en une fois et 28 % paient mensuellement.

Dans toute la suite de l'exercice, n désigne un nombre entier naturel.
On note :

$a_{n}$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année 2016 + n ;
$b_{n}$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année 2016 + n.

On note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste pour l'année 2016 + n. Ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \end{matrix})$ .

On note :

A l'état « le client paie en une fois » ;
B l'état « le client paie mensuellement ».

Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.
On a constaté que :
- 45 % des clients qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante d'où $p_{A} (B) = 0,45$ et $p_{A} (A) = 1 - 0,45 = 0,55$ .
- 70 % des clients qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante d'où $p_{B} (B) = 0,7$ et $p_{B} (A) = 1 - 0,7 = 0,3$ .
D'où le graphe probabiliste qui modélise la situation :
Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
La matrice de transition associée au graphe telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est $M = (\begin{array}{ll} 0,55 & 0,45 \\ 0,3 & 0,7 \end{array})$ .
Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018.
$\begin{matrix} P_{2} = P_{0} \times M^{2} & soit & P_{2} = (\begin{matrix} 0,72 & 0,28 \end{matrix}) \times {(\begin{array}{ll} 0,55 & 0,45 \\ 0,3 & 0,7 \end{array})}^{2} = (\begin{matrix} 0,42 & 0,58 \end{matrix}) \end{matrix}$
La probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 est 0,42.
Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,55 & 0,45 \\ 0,3 & 0,7 \end{array}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,55 a + 0,3 b & 0,45 a + 0,7 b \end{matrix}) \end{matrix}$
D'où a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} a = 0,55 a + 0,3 b \\ b = 0,45 a + 0,7 b \\ a + b = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} 0,45 a - 0,3 b = 0 \\ - 0,45 a + 0,3 b = 0 \\ a + b = 1 \end{cases} \end{matrix}$
Soit a et b solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} 0,45 a - 0,3 b = 0 \\ a + b = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} a + b = 1 \\ 0,75 a = 0,3 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} a = 0,4 \\ b = 0,6 \end{cases} \end{matrix}$
L'état stable du graphe probabiliste est $P = (\begin{matrix} 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, chaque année, 40 % des clients paieront en une fois et 60 % paieront mensuellement.
Pour tout entier naturel n, justifier que $a_{n + 1} = 0,25 a_{n} + 0,3$ .
Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,55 & 0,45 \\ 0,3 & 0,7 \end{array}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,55 a_{n} + 0,3 b_{n} & 0,45 a_{n} + 0,7 b_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,3 b_{n}$ avec pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$ . Donc pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,55 a_{n} + 0,3 \times (1 - a_{n}) = 0,25 a_{n} + 0,3$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n + 1} = 0,25 a_{n} + 0,3$ .
On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = a_{n} - 0,4$ .
1. Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} v_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,4 \\ = & 0,25 a_{n} + 0,3 - 0,4 \\ = & 0,25 a_{n} - 0,1 \\ = & 0,25 \times (a_{n} - 0,4) \\ = & 0,25 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,25 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,25.
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $a_{n} = 0,32 \times {0,25}^{n} + 0,4$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,25 et de premier terme $v_{0} = 0,72 - 0,4 = 0,32$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = 0,32 \times {0,25}^{n}$ .
  En outre, pour tout entier naturel n, $v_{n} = a_{n} - 0,4 \Leftrightarrow a_{n} = v_{n} + 0,4$ . On en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $a_{n} = 0,32 \times {0,25}^{n} + 0,4$ .
Déterminer par le calcul le plus petit entier n tel que $a_{n} ⩽ 0,401$ .
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcl} 0,32 \times {0,25}^{n} + 0,4 ⩽ 0,401 & \Leftrightarrow & 0,32 \times {0,25}^{n} ⩽ 0,001 \\ \Leftrightarrow & {0,25}^{n} ⩽ \frac{1}{320} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,25}^{n}) ⩽ \ln \frac{1}{320} \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,25 ⩽ - \ln 320 \\ \Leftrightarrow & - n \ln 4 ⩽ - \ln 320 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 320}{\ln 4} \end{array}$
Comme $\frac{\ln 320}{\ln 4} \approx 4,16$ alors :
Le plus petit entier n tel que $a_{n} ⩽ 0,401$ est $n = 5$ .

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