équations cartésiennes de l'espace

équation d'un plan

• Un plan de l'espace a une équation de la forme $ax+by+cz=d$ avec a, b et c non tous nuls.
• Réciproquement, toute équation de la forme $ax+by+cz=d$, où l'un au moins des réels a, b ou c n'est pas nul, est une équation cartésienne d'un plan.

Exemple

Dans la figure ci-dessous, on a représenté les droites d'intersection du plan 𝒫 d'équation $2x+2y+3z=18$ avec les plans de coordonnées du repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

Les points d'intersection A, B et C du plan 𝒫 avec les axes du repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ ont pour coordonnées $A\left(9;0;0\right)$, $B\left(0;9;0\right)$ et $C\left(0;6;0\right)$.

plans particuliers

Un plan admettant une équation « incomplète », c'est à dire dans laquelle ne figure qu'une ou deux des trois variables x, y et z, est parallèle à un plan de coordonnées ou à un axe de coordonnées.

Plan 𝒫 d'équation $x=k$ $𝒫//\left(y\mathrm{O}z\right)$	Plan 𝒫 d'équation $y=k$ $𝒫//\left(x\mathrm{O}z\right)$	Plan 𝒫 d'équation $z=k$ $𝒫//\left(x\mathrm{O}y\right)$
Plan 𝒫 d'équation $ax+by=d$ $𝒫//\left(\mathrm{O}z\right)$	Plan 𝒫 d'équation $ax+cz=d$ $𝒫//\left(\mathrm{O}y\right)$	Plan 𝒫 d'équation $by+cz=d$ $𝒫//\left(\mathrm{O}x\right)$

---

déterminer une équation cartésienne d'un plan :

Dans l'espace muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$, montrer que les points $A\left(1;0;3\right)$, $B\left(1;-1;0\right)$ et $C\left(-1;-2;1\right)$ définissent un plan et déterminer une équation de ce plan.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}\left(0;-1;-3\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(-2;-2;-2\right)$ ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés, ils définissent un plan (ABC).
Déterminons une équation cartésienne du plan (ABC).

1. méthode 1 :

   Une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme $ax+by+cz=d$ où a, b, c et d sont des réels.

   • $A\left(1;0;3\right)\in \left(ABC\right)\iff a+3c=d$.
   • $B\left(1;-1;0\right)\in \left(ABC\right)\iff a-b=d$.
   • $C\left(-1;-2;1\right)\in \left(ABC\right)\iff -a-2b+c=d$.

   Ainsi, a, b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{c}a+3c=d\\ a-b=d\\ -a-2b+c=d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}c={\displaystyle \frac{d-a}{3}}\\ b=a-d\\ -a-2\left(a-d\right)+{\displaystyle \frac{d-a}{3}}=d\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}c={\displaystyle \frac{d-a}{3}}\\ b=a-d\\ -{\displaystyle \frac{10a}{3}}=-{\displaystyle \frac{4d}{3}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}a={\displaystyle \frac{2d}{5}}\\ b=-{\displaystyle \frac{3d}{5}}\\ c={\displaystyle \frac{d}{5}}\end{array}\end{array}$$

   En choisissant, $d=5$ on obtient $a=2$, $b=-3$ et $c=1$ donc le plan (ABC) a pour équation $2x-3y+z=5$.

   ---

2. méthode 2 :

   $M\left(x;y;z\right)$ est un point du plan (ABC) si, et seulement si, les points A, B, C et M sont coplanaires.
   C'est à dire, si, et seulement si, il existe deux réels α et β tels que : $$\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$$

   Or $\overrightarrow{AM}\left(x-1;y;z-3\right)$, $\overrightarrow{AB}\left(0;-1;-3\right)$ et $\overrightarrow{AC}\left(-2;-2;-2\right)$ d'où : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{c}x-1=-2\beta \\ y=-\alpha -2\beta \\ z-3=-3\alpha -2\beta \end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{2}}=\beta \\ x-y-1=\alpha \\ z-3=-3\left(x-y-1\right)-2\left({\displaystyle \frac{1-x}{2}}\right)\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1-x}{2}}=\beta \\ x-y-1=\alpha \\ 2x-3y+z=5\end{array}\end{array}$$

   Ainsi, le plan (ABC) a pour équation $2x-3y+z=5$.

   ---

vecteur orthogonal à un plan

On dit qu'un vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal (ou normal) à un plan 𝒫 si la direction de $\overrightarrow{n}$ est une droite orthogonale au plan 𝒫. C'est à dire une droite orthogonale à toutes les droites du plan 𝒫.

Dans un repère othonormal, le vecteur $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)$ est orthogonal au plan 𝒫 d'équation $ax+by+cz=d$.

plans parallèles

Deux plans 𝒫 et $𝒫\prime$ d'équations respectives $ax+by+cz=d$ et $a\prime x+b\prime y+c\prime z=d\prime$ sont parallèles si, et seulement si, les coefficients a, b, c et $a\prime$, $b\prime$, $c\prime$ sont proportionnels.

Plans parallèles

Plans sécants selon une droite 𝒟.

système d'équations cartésiennes d'une droite

L'espace est muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$. Un point $M\left(x;y;z\right)$ appartient à une droite 𝒟 de l'espace si, et seulement si, ses coordonnées vérifient un système d'équations de la forme $${\displaystyle \{\begin{array}{c}ax+by+cz=d\\ a\prime x+b\prime y+c\prime z=d\prime \end{array}\text{ où }a\text{, }b\text{, }c\text{ et }a\prime \text{, }b\prime \text{, }c\prime \text{ ne sont pas proportionnels.}}$$

Exemple

La droite 𝒟 d'équation $\{\begin{array}{r}3x+2y+3z=18\\ 3x+2y=12\end{array}$ représentée ci-dessous, est la droite d'intersection de deux plans d'équation $𝒫:3x+2y+3z=18$ et $𝒫\prime :3x+2y=12$

---

Télécharger le polycopié du cours :

   |   

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.