contrôle du 2 juin 2014

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquez sur la copie le numéro de la question et justifiez votre choix.

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partie a

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z=4-4\mathrm{i}$ est :

   • Le module du nombre complexe $z=4-4\mathrm{i}$ est :$\left|z\right|=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

   • Un argument θ du nombre complexe $z=4-4\mathrm{i}$ est tel que : $\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{4}{4\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{4}{4\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$. D'où $\arg \left(z\right)=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

   Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z=4-4\mathrm{i}$ est donc $z=4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.

   a. $4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   b. $4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   c. $4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   d. $4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

2. Si $z_1=3\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$ et $z_2=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$, alors le produit $z_1\times z_2$ est un nombre complexe :

   $$\begin{array}{rcl}{z}_1\times z_2& =& 3\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}\times \sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\\ & =& 6{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)}\\ & =& 6{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{12}}\end{array}$$ Ainsi, $z_1\times z_2$ est un nombre complexe de module 6 et d'argument ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.

   a. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est ${\displaystyle \frac{\pi }{7}}$.	b. de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.
   c. de module 6 et dont un argument est ${\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$.	d. de module 6 et dont un argument est ${\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$.

3. Si $z_1=2\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$ et $z_2=\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$, alors le quotient ${\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ vaut :

   $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}& =& {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}}{\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}}}\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(-\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}\right)}\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{7\pi }{6}}\end{array}$$

   D'où $\arg \left({\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\right)=-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}\left[2\pi \right]$. Soit $\arg \left({\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}\right)=-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2\pi ={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$

   a. $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

   b. $\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{7\pi }{6}}$

   c. $2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   d. $-2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{7\pi }{6}}$

4. On considère le nombre complexe $z=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$. L'inverse de z est égal à :

   $${\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{1}{2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$$

   a. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   b. $-2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   c. $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

   d. ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$

partie b

5. On considère l'équation différentielle $y″+9y=0$, où y désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution f de cette équation est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime \prime +9y=0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x\mapsto k_1\cos \left(3x\right)+k_2\sin \left(3x\right)$ où $k_1$ et $k_2$ sont deux réels quelconques.

   Une solution particulière f de cette équation est obtenue en choisissant $k_1=-2$ et $k_2=0$. Soit $f\left(x\right)=-2\cos \left(3x\right)$.

   a. $f\left(x\right)=4{\mathrm{e}}^{9x}$

   b. $f\left(x\right)=\mathrm{0,2}\sin \left(9x\right)$

   c. $f\left(x\right)=-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-9x}$

   d. $f\left(x\right)=-2\cos \left(3x\right)$

6. On considère l'équation différentielle $2y\prime +6y=0$, où y désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution f de cette équation telle que $f\left(0\right)=1$ est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

   L'équation différentielle $2y\prime +6y=0$ s'écrit $y\prime +3y=0$.
   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +3y=0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x\mapsto k{\mathrm{e}}^{-3x}$ où k est un réel quelconque.

   Or $f\left(0\right)=1$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0=1$, c'est à dire $k=1$.

   La solution de cette équation différentielle vérifiant la condition $f\left(0\right)=1$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-3x}$.

   a. $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}+3$

   b. $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-3x}$

   c. $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-6x}$

   d. $f\left(x\right)=6{\mathrm{e}}^{-2x}$

partie c

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 2010, en France, la proportion notée p de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de $p=\mathrm{0,236}$.

7. La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10^-3 près :

   Comme les dix jeunes âgés de 15 à 19 ans sont choisis au hasard et de manière indépendante, X suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,236}$. $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,236}\right)}^{10}\approx \mathrm{0,068}$$

   a. 0,236

   b. 0

   c. 0,068

   d. 0,764

8. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est :
   (Les bornes de chaque intervalle sont données à 10^-3 près)

   Comme $n=500$, $n\times p=500\times \mathrm{0,236}=118$ et $n\times \left(1-p\right)=500\times \mathrm{0,764}=382$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,236}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{500}}};\mathrm{0,236}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{500}}}\right]\end{array}$$

   Soit en choisissant pour la borne inférieure, la valeur approchée à ${10}^{-3}$ près par défaut et pour la borne supérieure, la valeur approchée à ${10}^{-3}$ près par excès $I=\left[\mathrm{0,198};\mathrm{0,274}\right]$

   a. $\left[\mathrm{0,198};\mathrm{0,274}\right]$

   b. $\left[\mathrm{0,134};\mathrm{0,238}\right]$

   c. $\left[\mathrm{0,19};\mathrm{0,281}\right]$

   d. $\left[\mathrm{0,192};\mathrm{0,280}\right]$

9. La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,05, vaut :

   La taille minimale de l'échantillon est le plus petit entier n solution de l'inéquation $$\begin{array}{ccc}\left(\mathrm{0,236}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}\right)-\left(\mathrm{0,236}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}\right)⩽\mathrm{0,05}& \iff & 2\times \mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,236}\times \mathrm{0,764}}{n}}}⩽\mathrm{0,05}\\ & \iff & \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,180304}}{n}}}⩽{\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{3,92}}}\\ & \iff & \sqrt{{\displaystyle \frac{n}{\mathrm{0,180304}}}}⩾{\displaystyle \frac{\mathrm{3,92}}{\mathrm{0,05}}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{n}{\mathrm{0,180304}}}⩾{\mathrm{78,4}}^2\\ & \iff & n⩾{\mathrm{78,4}}^2\times \mathrm{0,180304}\\ & \text{Soit}& n⩾1109\end{array}$$

   a. $n=200$

   b. $n=400$

   c. $n=632$

   d. $n=1109$

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