contrôle du 2 juin 2014

Corrigé de l'exercice 2

Un site est spécialisé dans la diffusion de vidéos sur internet. Le responsable du site a constaté que la durée de chargement des vidéos évoluait en fonction d'internautes connectés simultanément.
On cherche à estimer la durée de chargement en fonction du nombre de personnes connectées simultanément. Deux fonctions sont proposées pour modéliser cette situation.

partie a Modèle logarithmique

On considère une première fonction f pour modéliser la situation précédente.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est $f\left(x\right)=x^2+\ln \left(x\right)+1$ pour x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

1. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=2x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

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   2. Étudier les variations de f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$, on a :$$2x+{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x}}$$.

      Par conséquent, sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction f est strictement croissante.

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2. Justifier que la fonction F définie sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x\ln \left(x\right)$ est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

   F est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$, $$\begin{array}{rcl}F\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{3x^2}{3}}+\left(1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\\ & =& x^2+\ln \left(x\right)+1\end{array}$$

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F est une primitive de la fonction f sur $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$.

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3. 1. Calculer la valeur exacte de $I={\displaystyle {\int }_4^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_4^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& \left[F\left(8\right)-F\left(4\right)\right]\\ & =& \left({\displaystyle \frac{512}{3}}+8\ln 8\right)-\left({\displaystyle \frac{64}{3}}+4\ln 4\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{448}{3}}+24\ln 2-8\ln 2\\ & =& {\displaystyle \frac{448}{3}}+16\ln 2\end{array}$$

      Ainsi, $I={\displaystyle {\int }_4^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{448}{3}}+16\ln 2$

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   2. En déduire la durée moyenne de chargement, arrondie à la seconde près, si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[4;8\right]$ est égale à $${\displaystyle \frac{1}{8-4}}\times {\displaystyle {\int }_4^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left({\displaystyle \frac{448}{3}}+16\ln 2\right)={\displaystyle \frac{112}{3}}+4\ln 2\approx 40$$

      Quand 4 000 à 8 000 personnes sont connectées, la durée moyenne de chargement est d'environ 40 secondes.

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partie b Modèle exponentiel

On modélise la situation à l'aide d'une deuxième fonction g.
On note x le nombre, exprimé en millier, d'internautes connectés simultanément. La durée de chargement exprimée en seconde est $g\left(x\right)=\mathrm{8,4}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,3}x\right)}$ pour x appartenant à $\left[\mathrm{0,5};+\infty \right[$..
On a tracé ci-dessous, la courbe ${𝒞}_g$ représentative de la fonction g.

1. La tangente T à la courbe ${𝒞}_g$ au point A d'abscisse ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ passe par l'origine du repère. Quelle est la valeur de $g\prime \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$ ?

   Le nombre dérivé $g\prime \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe ${𝒞}_g$ au point $A\left({\displaystyle \frac{10}{3}};g\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)\right)$ passant par l'origine du repère d'où $$\begin{array}{rcl}g\prime \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)& =& {\displaystyle \frac{g\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)}{{\displaystyle \frac{10}{3}}}}\\ & =& \mathrm{8,4}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,3}\times \frac{10}{3}\right)}\times {\displaystyle \frac{3}{10}}\\ & =& \mathrm{2,52}\mathrm{e}\end{array}$$

   $g\prime \left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)=\mathrm{2,52}\mathrm{e}$.

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2. Quelle est la durée moyenne de chargement exprimée en seconde si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000 ?

   La durée moyenne de chargement si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000 est égale à la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[4;8\right]$. Soit :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{8-4}}{\displaystyle {\int }_4^8\mathrm{8,4}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,3}x\right)}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{\mathrm{8,4}}{\mathrm{0,3}}}{\mathrm{e}}^{\left(\mathrm{0,3}x\right)}\right]}_4^8}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left(28{\mathrm{e}}^{\mathrm{2,4}}-28{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,2}}\right)\\ & =& 7\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{2,4}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,2}}\right)\\ & \approx & 54\end{array}$$

   Si le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000, la durée moyenne de chargement exprimée en seconde est égale à $7\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{2,4}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,2}}\right)$. Soit environ 54 secondes.

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partie c

On a constaté que quand le nombre d'internautes connectés simultanément est compris entre 4 000 et 8 000, le temps moyen de chargement était de 52 secondes.
Quel est celui des deux modèles qui décrit le mieux la situation ?

C'est le modèle exponentiel qui décrit le mieux la situation.

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