contrôle du 8 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 1

Dans chacun des cas suivants, calculer une primitive F de la fonction f.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x^2+2x-1$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=3\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x\iff F\left(x\right)=x^3+x^2-x$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=x^3+x^2-x$.

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2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2x^3+x^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}\iff F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

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3. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}\iff F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{x}}$.

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4. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2x-{\displaystyle \frac{3}{x^3}}$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(x\right)=2\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-3\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2x^2}}\right)\iff F\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{3}{2x^2}}$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x^2+{\displaystyle \frac{3}{2x^2}}$.

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5. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=2\cos \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(t\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{3}}\sin \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\iff F\left(t\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}\sin \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}\sin \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$.

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6. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=-3\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

   D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $$F\left(t\right)=-3\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)\iff F\left(t\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cos \left(3t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

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7. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)-\sin \left(2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$.

   Pour tout réel t, $$\sin \left(2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=-\cos \left(2t-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=-\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$$

   D'où f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=2\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$. On en déduit que $$F\left(t\right)=2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\iff F\left(t\right)=\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$$

   Ainsi, une primitive F de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(t\right)=\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$.

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