contrôle du 8 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$ et $F\left(-1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

   Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=x^2+1$, d'où $u\prime \left(x\right)=2x$. Ainsi, $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ d'où $F=-{\displaystyle \frac{1}{u}}+c$. Soit pour tout réel x :$$F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}+c$$

   La condition $F\left(-1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ se traduit par $$\begin{array}{ccccc}-{\displaystyle \frac{1}{{\left(-1\right)}^2+1}}+c={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & -{\displaystyle \frac{1}{2}}+c={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & c=1\end{array}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left(-1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$.

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2. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(t\right)=2\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ et $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$.

   Pour tout réel t, posons $u\left(t\right)=\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$, d'où $u\prime \left(t\right)=2\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$. Ainsi, $f=u\prime u$ d'où $F={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}^2+c$. Soit pour tout réel t :$$F\left(t\right)={\displaystyle \frac{{\left[\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2}{2}}+c$$

   La condition $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$ se traduit par $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{{\left[\sin \left(2\times {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2}{2}}+c=0& \iff & {\displaystyle \frac{{\left[\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\right]}^2}{2}}+c=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{2}}+c=0\\ & \iff & c=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, F est la fonction définie pour tout réel t par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{{\left[\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ soit :$$\begin{array}{rcl}F\left(t\right)={\displaystyle \frac{{\left[\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2-1}{2}}& \iff & F\left(t\right)={\displaystyle \frac{{\left[\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2-\left({\left[\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2+{\left[\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2\right)}{2}}\\ & \iff & F\left(t\right)=-{\displaystyle \frac{{\left[\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2}{2}}\end{array}$$

   Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)=0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(t\right)={\displaystyle \frac{{\left[\sin \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{{\left[\cos \left(2t+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right]}^2}{2}}$.

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