contrôle du 29 septembre 2015

Corrigé de l'exercice 1

Le glacier d'Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes. En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de 128 km².
Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.
On émet l'hypothèse que la longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 % tous les 10 ans à partir de 2010.
On note $u_n$ la longueur en kilomètres du glacier d'Aletsch, n dizaines d'années après 2010. Ainsi, $u_0=\mathrm{22,7}$.

1. Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.

   La longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 % tous les 10 ans d'où :$$\mathrm{22,7}\times \left(1-{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)=\mathrm{22,246}$$

   En 2020, la longueur du glacier d'Aletsch serait de 22,246 km.

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2. 1. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,98}{u}_n$.

      Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 2 % est $1-{\displaystyle \frac{2}{100}}=\mathrm{0,98}$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,98}{u}_n$.

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   2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?

      Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,98}{u}_n$ donc $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98.

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   3. Exprimer $u_n$ en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $u_0=\mathrm{}$ alors :

      Pour tout entier naturel n, $u_n=\mathrm{22,7}\times {\mathrm{0,98}}^n$.

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3. Selon ce modèle, le glacier d'Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?

   $$u_0-u_{10}=\mathrm{22,7}-\mathrm{22,7}\times {\mathrm{0,98}}^{10}\approx \mathrm{4,152}$$

   En un siècle, le glacier d'Aletsch aura perdu plus de quatre kilomètres.

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4. On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher dans combien d'années le glacier d'Aletsch aura perdu au moins la moitié de sa longueur.
   Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

   algorithme 1 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 22,7 Tant que $U⩾\mathrm{11,35}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{22,7}\times {\mathrm{0,98}}^n$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Afficher $10\times n$

   algorithme 2 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 22,7 Tant que $U⩾\mathrm{11,35}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,98}\times U$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Afficher $10\times n$

   algorithme 3 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 22,7 Tant que $U⩽\mathrm{11,35}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,98}\times U$ Affecter à n la valeur $n+10$ Fin Tant que Afficher n

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   L'algorithme 2 convient

   • L'algorithme 1 ne convient pas car on incrémente n après le calcul de U :

     Au premier passage dans la boucle Tant que, U prend la valeur $\mathrm{22,7}\times {\mathrm{0,98}}^0=\mathrm{22,7}$ et ensuite n prend la valeur 1 soit $u_1=\mathrm{22,7}$.

   • L'algorithme 3 ne convient pas. En effet, dès le début, la condition $U⩽\mathrm{11,35}$ est fausse, la boucle Tant que n'est pas exécutée et cet algoritme affiche 0.

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