contrôle du 2 fevrier 2016

Exercice 1

Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :

1. $z_1=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$.

2. $z_2=\sqrt{3}-\mathrm{i}$.

3. $z_3=-\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.

4. $z_4={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}}}$.

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Exercice 2

On considère les nombres complexes $z_1=1-\mathrm{i}$ et $z_2=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$.

1. Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.

2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_2$.

3. Soit $Z={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$.

   1. Déterminer l'écriture algébrique de Z.

   2. Déterminer la forme exponentielle de Z.

   3. En déduire la valeur exacte de $\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)$ puis celle de $\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$.

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Exercice 3

La courbe ${𝒞}_f$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$

partie a

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre celle d'une primitive $F_1$ de la fonction f.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction $F_1$. Justifier la réponse.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.

1. Soit F la primitive sur $ℝ$ de la fonction f telle que $F\left(0\right)=0$. Exprimer $F\left(x\right)$ en fonction de x.

2. Calculer l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$.

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