contrôle du 29 septembre 2015

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   La droite Δ est asymptote à la courbe $C_f$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

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2. Déterminer $f\prime \left(3\right)$.

   La tangente à la courbe au point B d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(3\right)=0$.

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif, par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+6x-9}{x^2}}$.

1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$. La courbe $C_f$ admet-elle une deuxième asymptote ?

   $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2+6x-9=-9$ et $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0^{+}$ donc par quotient $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+6x-9}{x^2}}=-\infty$

   $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ par conséquent, l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe $C_f$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{18-6x}{x^3}}$.

      La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$ :

      $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x^2+6x-9& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2x+6\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

      Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(2x+6\right)\times x^2-\left(x^2+6x-9\right)\times 2x}{x^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{2x^3+6x^2-2x^3-12x^2+18x}{x^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-6x^2+18x}{x^4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-6x+18}{x^3}}\hfill \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{18-6x}{x^3}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Étudions le signe de $f\prime \left(x\right)$ à l'aide d'un tableau :

      x	0				3		$+\infty$
      $18-6x$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $x^3$				+	$|$	+
      Signe de $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. Donner le tableau complet des variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0				3		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-\infty$		2		1

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1,5.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1,5 est :$$y=f\prime \left(\mathrm{1,5}\right)\times \left(x-\mathrm{1,5}\right)+f\left(\mathrm{1,5}\right)$$

   Or $f\left(\mathrm{1,5}\right)=1$ et $f\prime \left(\mathrm{1,5}\right)={\displaystyle \frac{9}{\mathrm{3,375}}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$ d'où une équation de la tangente :$$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{8}{3}}\times \left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+1& \iff & y={\displaystyle \frac{8}{3}}x-3\end{array}$$

   La tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1,5 a pour équation $y={\displaystyle \frac{8}{3}}x-3$.

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