contrôle du 25 novembre 2015

Exercice 1

1. Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :

   1. $\left({\mathrm{e}}^{-x}+1\right)\times \left({\mathrm{e}}^x-2\right)=0$.

   2. ${\mathrm{e}}^x\times {\mathrm{e}}^{-2}={\left({\mathrm{e}}^x\right)}^3$.

2. Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :

   1. ${\mathrm{e}}^{2x}\times {\mathrm{e}}^{x^2}⩽1$

   2. ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{3x}-9}{{\mathrm{e}}^x+3}}⩾0$

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Exercice 2

On a tracé ci-dessous, la courbe ${𝒞}_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ ainsi que la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

1. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(0\right)$.

La fonction f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{1+{\mathrm{e}}^x}}-2$.

2. 1. Calculer $f\left(-\ln 7\right)$ et $f\left(\ln 3\right)$.

   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=0$.

3. La courbe ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f admet-elle des asymptotes ?

4. 1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse $\left(-\ln 7\right)$.

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