contrôle № 9 du 22 mai 2016

Exercice 1

On s'intéresse à la durée d'attente auprès du standard téléphonique d'un service après vente.
On note T la variable aléatoire qui à un appel pris au hasard associe la durée de l'attente, exprimé en secondes. On admet que T, suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[20;120\right]$.

1. Déterminer la fonction de densité de probabilité f de la loi de T.

2. Quelle est la probabilité que la durée d'attente auprès du standard téléphonique soit comprise entre vingt et trente secondes ?

3. Quelle est la probabilité que la durée d'attente auprès du standard téléphonique soit supérieure à plus d'une minute ?

4. Préciser la durée moyenne d'attente auprès du standard téléphonique du service après vente.

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Exercice 2

L'iode 131 est un produit radioactif qui se désintègre spontanément.
Le nombre de noyaux d'iode 131 présents dans tout échantillon à la date t, exprimée en heures, est modélisé par une fonction N solution de l'équation différentielle : $$\begin{array}{cc}\left(E\right)& N\prime +3564\times {10}^{-6}\times N=0\end{array}$$
On dispose d'un échantillon contenant $4\times {10}^{12}$ noyaux d'iode 131.

1. 1. Résoudre l'équation différentielle (E) et donner sa solution particulière $N\left(t\right)$ définie par la condition initiale $N\left(0\right)=4\times {10}^{12}$.

   2. Calculer, à 0,1 jour près, le nombre de jours n au bout duquel le nombre de noyaux d'iode 131 encore présents dans l'échantillon aura diminué de moitié.

2. La variable aléatoire X égale à la durée de vie en jours d'un atome d'iode 131 avant désintégration suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,0855}$.

   1. Calculer $P\left(X>14\right)$.

   2. La demi-vie d'une substance radioactive est la durée t nécessaire pour que, statistiquement, la moitié des noyaux radioactifs présents se désintègrent (c'est à dire la durée t telle que $P\left(X<t\right)=\mathrm{0,5}$).
      Calculer à 0,1 jour près la demi-vie de l'iode 131.

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Exercice 3

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y″+y=0$, où y désigne une fonction de la variable réelle x.

2. Le but de cette question est de trouver la solution particulière f de l'équation différentielle (E) dont la courbe représentative ${𝒞}_f$ est donnée ci-dessous.

   1. Par lecture graphique, donner les valeurs de $f\left(0\right)$ et de $f\prime \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$.

   2. Montrer que la fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2\sin \left({\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$.

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Exercice 4

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des batteries Lithium-ion pour smartphone.

partie a

Le contrôle de qualité mis en place a permis d'établir que sur l'ensemble de la production 3 % des batteries sont défectueuses.
On prélève au hasard un échantillon de 20 batteries dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs avec remise.

Soit Y la variable aléatoire qui à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de batteries défectueuses.

1. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Quelle est la probabilité, arrondie à ${10}^{-3}$ près, que dans un échantillon de 20 batteries, il y a au moins une batterie défectueuse ?

3. Quelle est la probabilité, arrondie à ${10}^{-3}$ près, que dans un échantillon de 20 batteries, il y a au plus une batterie défectueuse ?

partie b

Le nombre de cycles de charge d'une batterie est appelé durée de vie de la batterie.
La durée de vie des batteries Lithium-ion mises en vente par cette entreprise est modélisée par la variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne $\mu =800$ et d'écart-type $\sigma =75$.

1. Déterminer $P\left(750⩽X⩽850\right)$ en donnant le résultat arrondi au millième.

2. Laquelle de ces trois courbes représente la fonction de densité de la loi normale d'espérance $\mu =800$ et d'écart-type $\sigma =75$ ? Justifier le choix.

3. Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, que la durée de vie d'une batterie soit supérieure à 900 cycles de charge ?

4. Sachant que $P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,15}$, donner la valeur de a arrondie à l'unité.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

partie c

Le service commercial affirme que 90 % des batteries proposées à la vente ont une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge.
Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire indépendant a reconstitué la vie de 60 batteries en simulant des cycles de charge et de décharge pour déterminer leur durée de vie en fonction de différents facteurs.
Sur ce lot, on a constaté que seulement 51 batteries ont eu une durée de vie supérieure à 700 cycles de charge.

Le résultat de ce test remet-il en question l'affirmation du service commercial ?

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