contrôle du 29 septembre 2015

exercice 1

Le glacier d'Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes.
En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de 128 km².

Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.

On émet l'hypothèse que la longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 % tous les 10 ans à partir de 2010.

On note $u_n$ la longueur en kilomètres du glacier d'Aletsch, n dizaines d'années après 2010. Ainsi, $u_0=\mathrm{22,7}$.

1. Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.

2. 1. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,98}{u}_n$.

   2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?

   3. Exprimer $u_n$ en fonction de n.

3. Selon ce modèle, le glacier d'Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?

4. On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher dans combien d'années le glacier d'Aletsch aura perdu au moins la moitié de sa longueur.
   Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

   algorithme 1 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 22,7 Tant que $U⩾\mathrm{11,35}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{22,7}\times {\mathrm{0,98}}^n$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Afficher $10\times n$

   algorithme 2 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 22,7 Tant que $U⩾\mathrm{11,35}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,98}\times U$ Affecter à n la valeur $n+1$ Fin Tant que Afficher $10\times n$

   algorithme 3 Affecter à n la valeur 0 Affecter à U la valeur 22,7 Tant que $U⩽\mathrm{11,35}$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,98}\times U$ Affecter à n la valeur $n+10$ Fin Tant que Afficher n

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exercice 2

partie a

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$.

On précise que :

• La droite Δ est asymptote à la courbe $C_f$.
• La tangente à la courbe au point B est parallèle à l'axe des abscisses.

On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. À partir du graphique et des renseignements fournis :

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Déterminer $f\prime \left(3\right)$.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif, par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2+6x-9}{x^2}}$.

1. Déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$. La courbe $C_f$ admet-elle une deuxième asymptote ?

2. 1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{18-6x}{x^3}}$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   3. Donner le tableau complet des variations de la fonction f.

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 1,5.

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