contrôles en terminale STI2D

contrôle du 29 septembre 2015

thèmes abordés

  • Suite géométrique.
  • Étude d'une fonction, limites, dérivée, variations.

exercice 1

Le glacier d'Aletsch, situé dans le sud de la Suisse, est le plus grand glacier des Alpes.
En 2010, sa longueur était de 22,7 kilomètres pour une superficie de 128 km2.

Depuis 1980, un réchauffement climatique significatif a conduit à un recul des glaciers de plus en plus rapide.

On émet l'hypothèse que la longueur du glacier d'Aletsch diminue de 2 % tous les 10 ans à partir de 2010.

On note un la longueur en kilomètres du glacier d'Aletsch, n dizaines d'années après 2010. Ainsi, u0=22,7.

  1. Donner une estimation de la longueur du glacier en 2020.

    1. Justifier que pour tout entier naturel n, un+1=0,98un.

    2. Quelle est la nature de la suite un ?

    3. Exprimer un en fonction de n.

  2. Selon ce modèle, le glacier d'Aletsch aura-t-il perdu au moins quatre kilomètres en un siècle ?

  3. On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher dans combien d'années le glacier d'Aletsch aura perdu au moins la moitié de sa longueur.
    Parmi les trois algorithmes suivants, déterminer celui qui convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

    algorithme 1

    Affecter à n la valeur 0
    Affecter à U la valeur 22,7

    Tant que U11,35

    • Affecter à U la valeur 22,7×0,98n
    • Affecter à n la valeur n+1

    Fin Tant que

    Afficher 10×n

    algorithme 2

    Affecter à n la valeur 0
    Affecter à U la valeur 22,7

    Tant que U11,35

    • Affecter à U la valeur 0,98×U
    • Affecter à n la valeur n+1

    Fin Tant que

    Afficher 10×n

    algorithme 3

    Affecter à n la valeur 0
    Affecter à U la valeur 22,7

    Tant que U11,35

    • Affecter à U la valeur 0,98×U
    • Affecter à n la valeur n+10

    Fin Tant que

    Afficher n


exercice 2

partie a

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative Cf d'une fonction f définie et dérivable sur 0+.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On précise que :

On note f la dérivée de la fonction f. À partir du graphique et des renseignements fournis :

  1. Déterminer limx+fx.

  2. Déterminer f3.

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x strictement positif, par fx=x2+6x-9x2.

  1. Déterminer limx0fx. La courbe Cf admet-elle une deuxième asymptote ?

    1. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle 0+, fx=18-6xx3.

    2. Étudier le signe de fx.

    3. Donner le tableau complet des variations de la fonction f.

  2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse 1,5.



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